Jaki jest prawidłowy sposób zapisania mnożenia między skalarem a wektorem?
Reguła mnożenia macierzy mówi, że liczba kolumn lewego operandu jest równa liczbie wierszy prawego operandu.
$M*N$ jeśli M ma $n$ kolumny i N powinny mieć $n$ wydziwianie.
Zgodnie z tą konwencją, naturalnym sposobem zapisania mnożenia między wektorem a skalarem jest umieszczenie wektora po lewej stronie - przyjmując skalar jako macierz 1 na 1.
Jednak odkryłem, że dość często ludzie nie przestrzegają powyższej zasady: na przykładzie rozkładu własnego:
wiki o rozkładzie własnym
$A\upsilon=\lambda\upsilon$
Czy jest jakaś praktyczna zasada, która nas poprowadzi, kiedy powinniśmy umieścić skalar po lewej stronie?
Odpowiedzi
Mnożenie przez skalar i mnożenie macierzy to 2 oddzielne operacje. Mimo że mają w sobie to samo słowo „rozmnażanie” - są zupełnie inne.
Mnożenie macierzy nie jest przemienne - więc mam umieścić odpowiednią matrycę po prawej stronie, to nie chodzi o konwencje. Skalary są przemienne i możesz je umieścić po dowolnej stronie.
Nie sądzę, aby istniała pisemna konwencja jako taka - ludzie po prostu przyzwyczaili się do stawiania współczynników przed innymi terminami. Jeśli umieścisz skalar po prawej stronie, w zależności od pola, nad którym pracujesz, niektórzy ludzie, którzy czytają twoje wyrażenia, mogą zatrzymać się i pomyśleć „hugh, czekaj, czy pracujemy z algebrą nieprzemienną? na chwilę. Niektórzy ludzie mogą również pomyśleć „hugh, czy to jest skalar czy coś mi brakuje?”. Może to zająć kilka dodatkowych cykli mózgowych dla czytelnika, więc zostawiłbym skalary po lewej stronie, ale prawdopodobnie nie będzie to tragedią, jeśli umieścisz je po drugiej stronie.
Chociaż można naśladować mnożenie przez skalar za pomocą$1\times n$ lub $n \times 1$matryce - nie tym jest w istocie. Ponownie - to są różne operacje i tylko jedna z nich jest przemienna.
To tylko kwestia konwencji notacji. Zwykle aksjomaty przestrzeni wektorowej formułuje się, zapisując w postaci mnożenie przez skalar$$\lambda \cdot v$$ gdzie $v \in V$ i $\lambda$ należy do pola naziemnego $K$. Powodem jest to, że zwykle rozumiemy to w produkcie$\mu \cdot \lambda$ elementów $K$mamy pierwszy czynnik$\mu$i drugi czynnik$\lambda$. W polu (którego mnożenie jest przemienne) kolejność czynników wydaje się nieistotna (ponieważ$\mu \cdot \lambda = \lambda \cdot \mu$), ale w ringu $R$(którego mnożenie jest generalnie nieprzemienne) kolejność jest niezbędna. Dotyczy to na przykład pierścienia$n\times n$-matryce nad polem. Jednym z aksjomatów przestrzeni wektorowej jest$$(\mu \cdot \lambda) \cdot v = \mu \cdot (\lambda \cdot v)$$ co jest pod względem mnemotechnicznym łatwiejsze niż ta sama formuła zapisana przez mnożenie przez skalar od prawej strony $$v \cdot (\mu \cdot \lambda) = (v \cdot \lambda) \cdot \mu .$$ W porządku, dla pola nie robi to dużej różnicy, ponieważ mówi to samo co $$v \cdot (\lambda \cdot \mu) = (v \cdot \lambda) \cdot \mu .$$Należy jednak pamiętać, że pojęcie przestrzeni wektorowej można uogólnić na pojęcie modułu nad pierścieniem$R$i tutaj kolejność ma znaczenie. W rzeczywistości rozróżnia się lewy i prawy$R$-moduły. Po lewej$R$-muodules zwykle zapisuje się mutliplikację skalarną jako $\lambda \cdot v$za słuszne $R$-moduły jak $v \cdot \lambda$. Zobacz tutaj .
Przejdźmy teraz do sedna twojego pytania. Iloczyn macierzy$A \bullet B$ jest zwykle definiowany dla pliku $m\times n$ matryca $A$ i $n\times p$ matryca $B$, czyli wymagamy, aby liczba kolumn $A$ jest równa liczbie rzędów $B$. Jak mówisz, skalar$\lambda$ można uznać $1 \times 1$ matryca $(\lambda)$. W ten sposób zdefiniowano następujące dwa wyrażenia:$$(\lambda) \bullet A \text{ for } 1 \times n \text{ matrices } A \tag{1} $$ $$A \bullet (\lambda) \text{ for } n \times 1 \text{ matrices } A \tag{2} $$ W $(1)$ $A$nazywany jest wektorem wierszowym , w$(2)$wektora kolumny .
Zależy to zatem od Twojej ulubionej notacji: jeśli weźmiesz pod uwagę elementy $K^n$ jako wektory wierszowe, musisz użyć $(1)$jeśli traktujesz je jako wektory kolumnowe, musisz napisać $(2)$.
W każdym razie ma to znaczenie tylko wtedy, gdy nalegasz za wszelką cenę, aby zrozumieć iloczyn skalarny$\lambda$ i $A$jako produkt matrycowy. Zwykle dla$A = (a_{ij})$ po prostu definiuje $$ \lambda \cdot (a_{ij}) = (\lambda \cdot a_{ij}) .$$ Robiąc to, nie ma znaczenia, czy weźmiesz pod uwagę elementy $K^n$ jako wektory wierszowe lub wektory kolumnowe.