Jednolita zbieżność sekwencji prawie wszędzie funkcji zerowych
Pozwolić $B([a , b])$ być przestrzenią ograniczonych i mierzalnych funkcji z zamkniętego ograniczonego przedziału $[a , b]$ w $\mathbb R$obdarzony normą sup. Wiem, że to przestrzeń Banacha.
Rozważmy teraz następującą podprzestrzeń wektorową $B([a , b])$:
$$L_{0} = \{ f : [a , b] → R │ f = 0 \text{ almost everywhere} \}$$
Jak to pokazać $L_{0}$ jest zamkniętą podprzestrzenią $B([a , b])$.
Moja próba wygląda następująco:
Pozwolić $f \in B([a , b])$ być punktem granicznym $L_{0}$. Następnie jest sekwencja$( f_{n} )$ w $L_{0}$ takie że $f_{n} → f$ jednolicie i stąd $f_{n} (x) = f (x)$ dla wszystkich $x \in [a , b]$. Od teraz$f_{n} = 0$ ae dla wszystkich $n\in\mathbb N$ a ponieważ policzalne przecięcie podzbiorów pełnej miary jest podzbiorem pełnej miary $f = 0$ae Wszelkie poprawki, jeśli się mylę, są bardzo mile widziane. Dzięki za wszelką pomoc.
Odpowiedzi
Pozwolić $(f_n)\in L_0^{\mathbb N}$ sekwencja $L_0$ która zbiega się w funkcję $f$. W szczególności,$f_n(x)\to f(x)$ ae i tym samym $f=0$ ae Dlatego $L_0$ jest sekwencyjnie zamykany i tym samym zamykany.