Jeśli $f$ jest funkcją rzeczywistą, ciągłą w $a$ i $f(a) < M$, to jest otwarta przerwa $I$ zawierające taki że $f(x) < M$ dla wszystkich $x \in I$.

Question

Mam problem dotyczący funkcji rzeczywistej, ciągłej przy a i f (a) odpowiedzi I. Jeśli użyłem$\epsilon =M-f(a)$ która jest również $\epsilon >0$ i $ \exists$ $ \delta>0$ więc istnieje otwarta przerwa $I$ zawierające takie, że $f(x)<M$ dla wszystkich $x \in I$. Myślę, że to również jest poprawne, ale nie jestem pewien.

Czy ktoś może zweryfikować moją odpowiedź?

$\underline{Edit}$

Teraz pozwól $\epsilon = {M-f(a)}$, Wyraźnie $\epsilon >0$i stąd istnieje otwarta przerwa $I=(a-\delta, a+\delta)$, takie, że dla każdego $x\in I$, $|f(x)-f(a)|<\epsilon= {M-f(a)}$ trzyma.

Wynika, że $f(x)<M$ dla wszystkich $x \in I$

Answer 1

Warunek, że $f$ jest ciągła o godz $a$wskazuje, że \ begin {equation} \ lim_ {x \ to a} f \ left (x \ right) = f \ left (a \ right). \ end {equation} Innymi słowy, mamy następującą propozycję: \ begin {equation} \ forall \ epsilon> 0, \ exist \ delta> 0, \ forall x, 0 <\ lvert xa \ rvert <\ delta \ longrightarrow \ lvert f \ left (x \ right) -f \ left (a \ right) \ rvert <\ epsilon. \ end {equation} I mamy twierdzenie, że \ begin {equation} f \ left (a \ right) <M. \ end {equation} Korzystając z faktu, że$M - f\left(a\right) > 0$, mamy \ begin {equation} \ exist \ delta> 0, \ forall x, 0 <\ lvert xa \ rvert <\ delta \ longrightarrow \ lvert f \ left (x \ right) -f \ left (a \ right) \ rvert <M - f \ left (a \ right), \ end {equation}, co dodatkowo wskazuje, że \ begin {equation} \ exist \ delta> 0, \ forall x, 0 <\ lvert xa \ rvert <\ delta \ longrightarrow f \ left (x \ right) <M. \ label {main} \ end {equation} Jeśli nie ma takiego otwartego przedziału$I$ że $f\left(x\right) < M$ dla wszystkich $x \in I$, to mamy następującą propozycję: \ begin {equation} \ forall \ delta> 0, \ exist x, 0 <\ lvert xa \ rvert <\ delta \ wedge f \ left (x \ right) \ geq M, \ label {sub} \ end {equation}, co oczywiście przeczy naszej konkluzji.