Jeśli $f$ jest więc ciągła $f$ jest jednolicie ciągła iff $|f|$ jest jednolicie ciągła

Question

Jeśli $f:\Bbb R^n \to \Bbb R$ jest więc ciągła $f$ jest jednolicie ciągła iff $|f|$ jest jednolicie ciągła.

Mapa $f$ z przestrzeni metrycznej $M=(M,d)$ do przestrzeni metrycznej $N=(N,\rho)$ mówi się, że jest jednolicie ciągły, jeśli dla każdego $\epsilon>0$istnieje plik $\delta>0$ takie że $\rho(f(x),f(y))<\epsilon$ kiedy tylko $x,y \in M$ usatysfakcjonować $d(x,y)<\delta$.

Jasne, jeśli $f:\Bbb R^n \to \Bbb R$ jest wtedy jednolicie ciągła $|f|$ jest jednolicie ciągła, jak $|f|(x)-|f|(y)|\leq |f(x)-f(y)|$ale mam prawdziwy problem z pokazaniem części odwrotnej. W regionie, w którym$f$ jest zawsze pozytywna lub negatywna, nie będziemy mieli żadnego problemu, ale jak poradzić sobie z punktami, w których $f$zmienia znak. Jeśli zera$f$ są skończone, wtedy też możemy wziąć minimum wszystkiego $\delta$si i podsumuj wynik. Co się stanie, jeśli zera$f$ są nieskończone?

Answer 1

Jak wspomniano w komentarzach, przedstawiony tutaj dowód można łatwo zmodyfikować tak, aby działał w całości$\mathbb{R}^n$.

Od $\lvert f \rvert$ jest jednolicie ciągła, istnieje $\delta > 0$ takie że \begin{align*} d(x,y) \leq \delta \Rightarrow \lvert \lvert f \rvert (x) - \lvert f \rvert (y) \rvert \leq \frac{\epsilon}{2}. \end{align*} Zauważ, że jeśli $f(x)f(y) > 0$, następnie \begin{align*} \lvert f(x)-f(y)\rvert \leq \lvert \lvert f \rvert(x) - \lvert f \rvert (y) \rvert, \end{align*} czyli mniej niż $\epsilon/2$ kiedy tylko $d(x,y) \leq \delta$. Nic dziwnego, że ten przypadek był dość trywialny. Zwróćmy teraz uwagę na przypadek, w którym$f(x)f(y) \overset{\star}{\leq} 0$. Ponieważ zawsze tak jest\begin{align*} \lvert f(x)-f(y)\rvert \leq \lvert f \rvert(x) + \lvert f \rvert (y). \end{align*} wystarczy to pokazać $\star$ implikuje istnienie $z$ takie że $d(x,z) \vee d(y,z) \leq d(x,y)$ i $f(z) = 0$. Ponieważ wtedy\begin{align*} \lvert f(x) - f(y) \rvert &\leq \lvert \lvert f \rvert(x) - \lvert f \rvert(z) \rvert + \lvert \lvert f \rvert(y) - \lvert f \rvert(z) \rvert \\ &\leq \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon \end{align*} kiedy tylko $d(x,y) \leq \delta$. Od$f$ jest ciągła, istnienie odpowiedniego $z$ wynika z ciągłości $f$ i $\star$(jako konsekwencja twierdzenia o wartości pośredniej, patrz np. tutaj ).