Jeśli $\text{ }\big(x-\frac{1}x\big)=i\sqrt{2}$. Następnie oblicz $\bigg(x^{2187}-\frac{1}{x^{2187}}\bigg)$. Tutaj $i=\sqrt{-1}$
PYTANIE: Jeśli$\text{ }\big(x-\frac{1}x\big)=i\sqrt{2}$ , $\text{ }$następnie oblicz $$\bigg(x^{2187}-\frac{1}{x^{2187}}\bigg)$$ Tutaj $i=\sqrt{-1}$ .
MOJA ODPOWIEDŹ: Zrobiłem to używając wzoru kwadratowego i twierdzenia De Moivre'a. Pozwól, że spiszę swoją pracę, zanim zasugeruję wątpliwości ... Oto jak to zrobiłem ...
Rozwiązując równanie, które otrzymujemy $$x^2-(i\sqrt{2})x-1=0$$ $$\implies x=\frac{i\sqrt{2} \pm \sqrt{(i\sqrt{2})^2+4}}{2} $$ $$\implies x=\frac{i\sqrt{2}\pm\sqrt{2}}{2}$$ Brać $x=(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i)=e^{\frac{i\pi}4}$
Teraz to wiemy $2187=(273\times8)+3$
$$\therefore x^{2187}=e^{2187\times \frac{i\pi}4}=e^{(273\times 2\pi + \frac{3\pi}4)i}=e^{\frac{{3\pi}}{4}i}=\frac{i-1}{\sqrt{2}}$$
$$\therefore x^{2187}-\frac{1}{x^{2187}}= \frac{i-1}{\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{2}}{i-1}$$ $$=\frac{(i-1)^2-2}{(i-1)\sqrt{2}}$$ $$=\frac{2}{\sqrt{2}}\frac{(1+i)}{(1-i)}$$ $$=\frac{\sqrt{2}}{2} (1+i)^2$$ $$=\boxed{\sqrt{2}i}$$
Teraz moje pierwsze pytanie jest takie, że relacja kwadratowa dała nam dwie różne wartości$x$. Taką, z którą wypracowałem sobie odpowiedź$\sqrt {2}i$ i inni, $\big(-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i\big)$które zostawiłem. Teraz pracując z tym stwierdzam, że kąt okazuje się być$\frac{\pi}{10}$a potem sprawy stają się znacznie bardziej skomplikowane. Oficjalna odpowiedź na to pytanie brzmi$\sqrt{2}i$ (co pasuje do tego, czego się dowiedziałem).
Wątpię, dlaczego nie bierzemy pod uwagę innej wartości $x$ ?
Czy jest jakaś alternatywna (najlepiej prostsza) metoda (y) rozwiązania tego problemu?
Bardzo dziękuję za pomoc i wsparcie .. :)
Odpowiedzi
$2187=3^7$. To jest wskazówka. Uprawnienia$3$są znaczące. Teraz$$\left(x-\frac1x\right)^3=(i\sqrt2)^3=-2i\sqrt2$$ i $$\left(x-\frac1x\right)^3=x^3-\frac1{x^3}-3\left(x-\frac1x\right) =x^3-\frac1{x^3}-3i\sqrt2.$$ Więc $$x^3-\frac1{x^3}=i\sqrt2.$$ Powtarzając to, $$x^9-\frac1{x^9}=i\sqrt2,$$ $$x^{27}-\frac1{x^{27}}=i\sqrt2$$ itd. Ostatecznie $$x^{2187}-\frac1{x^{2187}}=i\sqrt2.$$
W rzeczywistości łatwo jest sprawdzić, czy obie wartości $x$dają ten sam wynik. Do całego problemu wystarczy dwukrotnie wzór De Moivre'a (dwie linijki papieru bez wyjaśnienia).
Dla $x=\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i$, pokazałeś, że odpowiedź brzmi $i\sqrt 2$.
Teraz pozwól $x=-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i=\cos \frac{3\pi}{4} + i\sin \frac{3\pi}{4}$. Używając formuły De Moivre'a i tego, że$$z-\frac{1}{z}=2i\sin(\arg(z))$$ dostajesz $$x^{2187}-\frac{1}{x^{2187}} = x^3-\frac{1}{x^3} = 2i\sin\frac{9\pi}{4}=i\sqrt 2$$ Gotowe!