Jest $P(1)$ prawdziwe?

Jan 08 2021

Niedawno odkryłem ten fałszywy dowód przez indukcję, że wszystkie dodatnie liczby całkowite są równe z The Mathematical Gazette :

Pozwolić $P(n)$ być propozycją:

„Jeśli maksymalnie dwie dodatnie liczby całkowite to $n$ wtedy liczby całkowite są równe. "

Wyraźnie $P(1)$jest prawdziwy. Przy założeniu, że$P(n)$ jest prawdą, załóż to $u$ i $v$ są dodatnimi liczbami całkowitymi, których maksimum wynosi $u$ i $v$ jest $n + 1$. Wtedy maksimum$u - 1$ i $v - 1$ jest $n$, zmuszając $u - 1 = v - 1$ przez ważność $P(n)$. W związku z tym,$u = v$.

Widzę to, prawie duplikat: znajdź błąd w poniższym traktowaniu i rozumiem to, ale pokłóciłem się z kimś. Mówią, że podstawa$P(1)$jest w rzeczywistości, nie prawda, bo albo dwie liczby całkowite są już takie same, czy są one różne, i tylko wówczas, gdy$P(1)$ Prawdą jest, że muszą już być takie same, w takim przypadku niczego nie udowodniliśmy.

Mówię, że przypadek specjalny $n = 1$ wymusza takie same liczby, co sprawia, że$P(1)$ prawdziwe.

Kto ma rację?

Odpowiedzi

5 subrosar Jan 08 2021 at 06:13

Podstawa jest poprawna. Błąd pojawia się na etapie wprowadzania, kiedy to zakładasz$u-1$ i $v-1$ są dodatnimi liczbami całkowitymi.