Kontrprzykład dotyczący twierdzenia Riemanna-Stieltjesa

Question

Przypuszczać $f$ jest uzależniony $[a,b]$, $f$ ma tylko skończenie wiele punktów nieciągłości $[a,b]$ i $ \alpha $jest ciągła w każdym punkcie nieciągłości. Następnie$f \in \Re(\alpha)$

Czy jest jakiś przykład, że jeśli $f$ jest ograniczony $[a,b]$ i przerywany o godz $ x=c \in $[a, b], $ \alpha(x) $ jest nieciągły o $ x=c $ również, ale $ f \in \Re(\alpha)$?

Answer 1

Przykładem, w którym zarówno całka, jak i integrator są nieciągłe, ale istnieje całka Riemanna-Stieltjesa, to$$f(x) = \begin{cases}0, & a \leqslant x < c \\ 1, & c \leqslant x \leqslant b \end{cases}\quad \alpha(x) = \begin{cases}0, & a \leqslant x \leqslant c \\ 1, & c < x \leqslant b \end{cases}$$

Dla partycji z podprzedziałem $I_c =[c,c+\delta]$ mamy zarówno górną, jak i dolną sumę Darboux-Stieltjes równą $1$ od $\sup_{x\in I_c} f(x) = \inf_{x \in I_c} f(x) = 1$ i $\alpha(c+\delta) - \alpha(c) = 1$. To dowodzi tego$f \in \mathcal{R}(\alpha)$ ponieważ dla każdego $\epsilon > 0$ jest taka partycja $U(P,f,\alpha) - L(P,f,\alpha) < \epsilon$.