Macierzowa reprezentacja nieabelowych grup porządku $p^3$?

Question

Kiedy patrzysz na grupy porządku $p^3$ (dla dziwnych $p$) tam są $2$nieabelowe. Jednym z nich jest grupa Heisenberga, którą można postrzegać jako półpośredni produkt$C_p \times C_p$ i $C_p$.

Na podstawie niektórych obliczeń z GAP widzę, że ten drugi jest produktem półpośrednim $C_{p^2}$ z $C_p$.

Czy tę drugą grupę można uznać za znajomą grupę macierzy?

---

gap> c := AllSmallGroups( 3^3, IsAbelian, false );
[ <pc group of size 27 with 3 generators>, <pc group of size 27 with 3 generators> ]
gap> c[1];
<pc group of size 27 with 3 generators>
gap> StructureDescription(c[1]);
"(C3 x C3) : C3"
gap> StructureDescription(c[2]);
"C9 : C3"
gap> c := AllSmallGroups( 5^3, IsAbelian, false );
[ <pc group of size 125 with 3 generators>, <pc group of size 125 with 3 generators> ]
gap> StructureDescription(c[1]);
"(C5 x C5) : C5"
gap> StructureDescription(c[2]);
"C25 : C5"

Answer 1

Jednym słowem „nie”. Zauważ, że$\mathrm{GL}_n(q)$ dla $q$ moc $p$ nie może mieć żadnych elementów porządku $p^2$ chyba że $n>p$. Tak więc jak$p$ rośnie, rozmiar grupy macierzy musi rosnąć.

Podobnie jest z polami o charakterze nie $p$. Każdy$1$-wymiarowe reprezentacje grupy mają środek w jądrze. Jedyne wierne przedstawienia mają co najmniej stopień$p$.

Więc ta grupa nie ma wiernej reprezentacji stopnia niższego niż $p$ na dowolnym polu.

Edycja: nie ma reprezentacji macierzy na żadnym polu, ale jest ponad pierścieniem . Ta grupa jest określona przez$$ \left\{\left.\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}\,\right|\, a,b\in \mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z},\;a\equiv 1\bmod p\right\}.$$

Przekonałem się o tym, patrząc na notatki Keitha Conrada .