Na wzór inwersji Fouriera

Nov 20 2020

Dla danej funkcji $f\in L^1(\mathbb{R})$, załóżmy, że
$$\check{f}(x)=\int_\mathbb{R} \hat{f}(\zeta)e^{2\pi i\zeta x}d\zeta$$ prawie wszędzie, gdzie się zbiegają $\mathbb{R}$. Czy możemy to powiedzieć$f=\check{f}$prawie wszędzie? Jeśli odpowiedź brzmi NIE, czy jest możliwe, że miara Lebesgue'a wynosi$\{x: f(x)\neq\check{f}(x)\}$ być nieskończonym?

Odpowiedzi

9 MateuszKwaśnicki Nov 20 2020 at 08:24

Uwaga: nie jestem pewien, czy poprawnie rozumiem słowo „zbieżność”.

Jest to całkowicie analogiczne do podobnego pytania dotyczącego zbieżności szeregów Fouriera, które jest klasyczne.

Pozwolić $$g(x,r) = \int_{-r}^r \hat f(\zeta) e^{2\pi i \zeta x} d\zeta$$ przez „sumy częściowe” odwrotnej transformaty Fouriera i oznaczyć przez $$h(x, r) = \int_0^1 g(x, r t) dt = \int_{-r}^r \hat f(\zeta) e^{2\pi i \zeta x} (1 - \tfrac{|\zeta|}{r}) d\zeta $$ średnie Cesàro $g$.

Zgodnie z twierdzeniem Plancherela, $g(\cdot, r)$ jest splotem $f$ z funkcją $\phi_r(x) = 2 r \operatorname{sinc}(\pi r x)$(który odgrywa taką samą rolę jak jądro Dirichleta w teorii szeregu Fouriera). W podobny sposób,$h(\cdot, r)$ jest splotem $f$ z $\psi_r(x) = r (\operatorname{sinc}(\pi r x))^2$ (który służy jako stały odpowiednik jądra Fejér).

Od $\psi_r(x)$ jest przybliżoną tożsamością jako $r \to \infty$ (to jest: $\psi_r(x) = r \psi_1(r x)$, $\psi_r(x) \ge 0$ i $\int_{-\infty}^\infty \psi_r(x) dx = 1$) i dodatkowo $\psi_1$ jest ograniczona przez „radialnie malejącą” i całkowitą funkcję: $\psi_1(x) \leqslant \min\{1, 1 / (\pi x)^2\}$. Oznacza to, że funkcje$f * \psi_r$ zbiegają się do $f$ tak jak $r \to \infty$ prawie wszędzie (a także w $L^1$); patrz, na przykład, Wniosek 2.43 w Advanced Real Analysis autorstwa Davida McCormicka i José Luisa Rodrigo, dostępny tutaj . W związku z tym,$h(x, r) \to f(x)$ prawie wszędzie jak $r \to \infty$ (jest to stwierdzone tuż pod dowodem Wniosku 2.43 w książce, do której link znajduje się powyżej).

Na stałe $x$, gdyby $g(x, r)$ ma limit jako $r \to \infty$, to granica jest z konieczności równa granicy środków Cesàro $h(x, r)$. Tak więc, jeśli$g(x, r)$ zbiega się dla prawie wszystkich $x$ tak jak $r \to \infty$, to granica jest równa $f(x)$ prawie wszędzie.

3 PieroD'Ancona Nov 20 2020 at 12:06

Może się mylę, ale poniższe przeformułowanie pytania wydaje się najszersze z możliwych.

Pytanie: niech $u\in L^1$więc to $\hat u\in L^\infty$ jest hartowaną dystrybucją i stąd $v=F^{-1}\hat u$jest dobrze zdefiniowaną dystrybucją temperowaną. Przypuszczać$v$ jest funkcją, co oznacza, że ​​pokrywa się z funkcją lokalnie integrowalną $w$w sensie dystrybucji. Czy to prawda$w=u$ ae?

Zatem założenie jest takie dla każdej funkcji testowej $\phi$ mamy $v(\phi)=\int w \phi$, co oznacza, z definicji transformaty Fouriera rozkładu, $\int\hat u\cdot F^{-1}\phi=\int w\phi$ to znaczy $\int u FF^{-1}\phi=\int w\phi$ dla wszystkich funkcji testowych $\phi$. To oczywiście wynika$u=w$ ae