Negacja „jeśli A to B” (jak udowodnić, że „jeśli A to B” jest fałszem)
Wiem, że ten temat był już omawiany, ale nadal nie mogłem znaleźć odpowiedzi na moje konkretne pytanie.
Wiem, że negacją „Jeśli A to B” jest „A i NIE B”.
Ale chciałem trochę wyjaśnienia i co decyduje o prawdzie / fałszu dla stwierdzenia A i NIE B.
Na przykład załóżmy, że stwierdzenie „jeśli A, to B” jest prawdziwe. Wtedy, według mojego zrozumienia, wynikałoby z tego, że „A i NIE B” muszą zawsze być fałszywe.
Załóżmy jednak, że stwierdzenie „jeśli A, to B” jest fałszywe. Czy zatem stwierdzenie „A i NIE B” byłoby zawsze prawdziwe? Czy jest tak, że jest przynajmniej jeden przypadek, w którym „A i NIE B” jest prawdziwe?
Aby moje pytanie było jeszcze jaśniejsze, gdybym chciał udowodnić, że „jeśli A to B” jest rzeczywiście fałszywe, czy powinienem pokazać, że „A i NIE B” zawsze jest prawdziwe, czy wystarczy pokazać tylko jeden przypadek to prawda?
Dzięki!
Odpowiedzi
Na przykład załóżmy, że stwierdzenie „jeśli A, to B” jest prawdziwe. Wtedy, według mojego zrozumienia, wynikałoby z tego, że „A i NIE B” muszą zawsze być fałszywe.
Bycie prawdziwym różni się od bycia tautologią, więc nie wynika z tego, że „A i NIE B” muszą zawsze być fałszywe. Zamiast tego przypuśćmy, że „jeśli A to B” jest tautologią, oznacza to, że jej negacja zawsze musi być fałszywa, tj. Sprzeczność.
Eidt: To prawda, jeśli masz na myśli, że „A i NIE B” zawsze jest fałszywe w tych przypadkach, że „jeśli A, to B” jest prawdą.
Załóżmy jednak, że stwierdzenie „jeśli A, to B” jest fałszywe. Czy zatem stwierdzenie „A i NIE B” byłoby zawsze prawdziwe? Czy jest tak, że jest przynajmniej jeden przypadek, w którym „A i NIE B” jest prawdziwe?
Jeśli wiemy, że „jeśli A, to B” jest fałszywe w niektórych ustalonych przypadkach, to „A i NIE B” muszą być prawdziwe w tych przypadkach, a jeśli te przypadki obejmują wszystkie możliwe przypadki, to tak, że
$$\text{($'$A and NOT B$'$ always be true) hold, i.e. this would be a tautology}$$
Jednak kiedy mówimy „jeśli A to B” jest fałszem, zwykle oznacza to fałsz w jakimś konkretnym przypadku, powiedzmy w przypadku C. To there is at least one case where "A and NOT B" is truetrzymanie. Mów konkretnie, ponieważ jest to prawdą w przypadku C.
Aby moje pytanie było jeszcze jaśniejsze, gdybym chciał udowodnić, że „jeśli A to B” jest rzeczywiście fałszywe, czy powinienem pokazać, że „A i NIE B” zawsze jest prawdziwe, czy wystarczy pokazać tylko jeden przypadek to prawda?
Jeśli chcemy udowodnić, że „jeśli A, to B” jest rzeczywiście fałszem w jakimś przypadku C, wystarczy wykazać, że w przypadku C „A i NIE B” jest prawdą.
Z tego samego powodu, jeśli chcemy udowodnić, że „jeśli A, to B” jest zawsze fałszywe, to musimy pokazać, że „A i NIE B” jest zawsze prawdziwe.
Spójrzmy na tabelę prawdy $A \rightarrow B$, mamy $$ \begin{array}{|c|c|c|} \hline A & B & A\rightarrow B \\ \hline T & T & T \\ T & F & F \\ F & T & T \\ F & F & T \\ \hline \end{array} $$
Jedyny przypadek do zdobycia $False$ wartość to kiedy $A$ jest $True$ i $B$ jest $False$. Aby uzyskać ten wynik, wystarczy to pokazać$B$ jest $False$. Mam nadzieję, że to pomoże
Oto tabela prawdy dla $(\neg(A\to B)\to (A \land \neg B))$:
Jak widać, jest to zawsze prawda.
Implikacja logiczna jest często definiowana jako:
$A\to B~~\equiv ~~ \neg (A \land \neg B)$
Tę równoważność można również formalnie udowodnić na podstawie pierwszych zasad, używając formy naturalnej dedukcji:
