Niech a, b i c będą nieparzystymi dodatnimi liczbami całkowitymi. Pokaż, że równanie kwadratowe 𝑎𝑥 ^ 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 nie ma racjonalnego rozwiązania. [duplikować]

Question

Aby to udowodnić, myślę, że Δ powinno =$k^2$ więc niech a = 2p-1, b = 2q-1, c = 2r-1, gdzie p, q, r są dodatnimi liczbami całkowitymi, a następnie obliczyłem $ b^2-4ac$ który jest $-16 p r + 8 p + 4 q^2 - 4 q + 8 r - 3$ i trudno mi to udowodnić $-16 p r + 8 p + 4 q^2 - 4 q + 8 r - 3 ≠ k^2$ więc jak udowodnić Δ ≠ $k^2$ i czy można użyć metody sprzeczności (niech root $x_0$= p / q i $gcd(p,q)=1$)

Answer 1

Krok 1: Pokazujemy, że ma zero lub dwa racjonalne rozwiązania. Załóżmy więc, że jest inaczej$x_1 \in \mathbb{Q}, x_2 \in \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$. Następnie$x_1x_2 \in \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$lub $-ac\in \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$. Sprzeczność.

Krok 2: Załóżmy, że ma dwa racjonalne rozwiązania. Można więc zapisać jako:\begin{align*} (x - \frac{n_1}{m_1})(x - \frac{n_2}{m_2}) &= 0\\ (m_1x - n_1)(m_2x - n_2) &= 0 \\ m_1m_2x^2 - (n_1m_2 + n_2m_1)x + n_1n_2 &= 0 \end{align*}

Teraz będę twierdził, że skończyliśmy. Zauważ, że możemy wybrać$n_i, m_i$ takie że $\gcd(n_i, m_i) = 1$. Potrzebujemy współczynników$x$mieć taki sam parytet. Gdyby$m_1$ jest nawet wtedy $n_2$ musi być równe, co daje $n_1m_2 + n_2m_1$dziwny. Argument symetryczny ma zastosowanie, gdy$m_2$jest równa. Wreszcie, jeśli obie$m$ są więc dziwne $n$ są dziwne, ale teraz $(n_1m_2 + n_2m_1)$ jest tak, że dochodzimy do wymaganej sprzeczności.