Obce rozwiązanie z podstawiania w równaniach

Aug 16 2020

Natknąłem się na ten przykład, jak można skończyć z obcym rozwiązaniem, ale zastanawiałem się, jak to się stało. Mamy równanie:$$x^2+x+1=0 $$ Ponieważ x = 0 nie spełnia równania, możesz podzielić przez x po obu stronach, co daje: $$x+1+\frac{1}{x}=0$$co jest równoważne naszemu pierwszemu równaniu. Z naszego pierwszego równania możemy wywnioskować, że:$$-x^2=x+1$$ Teraz podstawiamy to do drugiego równania, aby otrzymać:$$x^2=\frac{1}{x}$$ Co skutkuje w $$x^3=1$$co jest równoważne naszemu poprzednim równaniu, ponieważ x nie może wynosić 0. Jednakże jednym rozwiązaniem z naszego ostatniego równania jest x = 1, co nie jest rozwiązaniem naszego pierwotnego równania. Mam niejasne pojęcie, że może to mieć związek z faktem, że otrzymałeś równanie sześcienne i zacząłeś od kwadratu, a te kroki oznaczają następujące, a nie odwrotnie, ale czy możesz podać bardzo szczegółową odpowiedź, dlaczego powstaje? Czy możesz podać więcej przykładów?

Odpowiedzi

8 Gae.S. Aug 16 2020 at 16:16

Jeśli zadzwonimy $A(x)=x^2+x+1$ i $B(x)=x+1+\frac1x$, możemy schematycznie przedstawić twoje fragmenty jako takie: $$A(x)=0\Leftrightarrow \begin{cases}x\ne 0\\ B(x)=0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x\ne 0\\ A(x)=0 \\B(x)=0\end{cases}\stackrel{!!!}\Rightarrow \begin{cases}x\ne 0\\ B(x)-A(x)=0\end{cases}$$

Natomiast aby zachować równoważność, powinieneś był zachować $A(x)=0$ w $\begin{cases}x\ne0\\ B(x)-A(x)=0\\ A(x)=0\end{cases}$

1 MichaelRozenberg Aug 16 2020 at 16:42

To podstawienie ($x+1=-x^2$) rozszerza zbiór pierwiastków równania

dlatego $-x^2$ zależy również od $x$.

Możesz zastąpić $x+1=y$, na przykład.

Więcej przykładu, gdy podobna zamiana daje podobne problemy.

Musimy rozwiązać $$\sqrt[3]{2x+1}+\sqrt[3]{x+1}=\sqrt[3]{x-1}.$$

Otrzymujemy: $$\left(\sqrt[3]{2x+1}+\sqrt[3]{x+1}\right)^3=x-1$$ lub $$2x+1+x+1+3\sqrt[3]{2x+1}\cdot\sqrt[3]{x+1}\left(\sqrt[3]{2x+1}+\sqrt[3]{x+1}\right)=x-1.$$ Od teraz $$\sqrt[3]{2x+1}+\sqrt[3]{x+1}=\sqrt[3]{x-1},$$ co może dostać coś złego, otrzymujemy: $$3\sqrt[3]{(2x+1)(x+1)(x-1)}=-3-2x$$ lub $$x(440x^2+630x+189)=0$$ i mamy jako jedną z opcji $x=0$.

Łatwo to zobaczyć $0$ nie jest pierwiastkiem wyjściowego równania i tak się stało

ponieważ użyliśmy nieprawidłowego podstawienia $\sqrt[3]{2x+1}+\sqrt[3]{x+1}=\sqrt[3]{x-1}.$

Teraz musimy sprawdzić, czy wszystkie pierwiastki równania $440x^2+630x+189=0$ są pierwiastkami równania początkowego, co nie jest takie łatwe.

Jeśli chcemy uniknąć tych problemów, musimy użyć następującej tożsamości. $$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)$$

YvesDaoust Aug 18 2020 at 15:23

Wszystkie przekształcenia równania muszą być odwracalne. Z$x=0$,

$$x^2+x+1=0\leftrightarrow x+1+\frac1x=0$$ jest w porządku.

Ale połączenie dwóch równań w jednym $$\begin{cases}x+1=-\dfrac1x\\x+1=-x^2\end{cases}\leftrightarrow x^2=\frac1x$$ nie jest.