Obliczenia obejmujące złożone formy różniczkowe

Aug 16 2020

Czytam tę notatkę z wykładu na temat złożonej geometrii i utknąłem przy jednym obliczeniu (pozornie podstawowym) obejmującym złożone formy różniczkowe. Przypuszczać$X$ jest złożoną powierzchnią i $\omega$ jest holomorficzną (1,0) -formą, tj $\omega$ zostaje zabity przez operatora $\overline{\partial}$. Pozwolić$\overline{\omega}$być odpowiednią (0,1) formą koniugatu. Autor tak twierdzi

\ begin {equation *} d (\ omega \ wedge \ overline {\ omega}) = d \ omega \ wedge d \ overline {\ omega} \ end {equation *}

Od teraz $\partial \omega = \overline{\overline{\partial} \overline{\omega}}$, prawa strona to nic innego $\partial{\omega} \wedge \overline{\partial} \overline{\omega}$. Ale nie widzę, jak lewą stronę można zapisać w tym samym wyrażeniu (używając zwykłej reguły dla zewnętrznych pochodnych). Każdy wgląd zostanie doceniony.

Odpowiedzi

4 ArcticChar Aug 16 2020 at 07:27

LHS $d(\omega \wedge \overline\omega)$ jest formą trzech, podczas gdy RHS $d\omega \wedge d\overline\omega$to forma czterech. One nie są takie same.

Patrząc na notatkę, napisali

Teraz według twierdzenia Stokesa $\int d\omega \wedge d\overline\omega = 0$ (dlatego $ d(\omega \wedge \overline{\omega}) = d\omega \wedge d \overline{\omega} $).

Uważam, że to tylko literówka i prawdopodobnie mają na myśli $$d(\omega \wedge d\overline{\omega}) = d\omega \wedge d \overline{\omega}.$$