Podstawa dla $\mathbb{R}^\mathbb{N}$ implikuje aksjomat wyboru?
Pozwolić $\mathbb{R}^\mathbb{N}$ oznaczają przestrzeń wektorową powyżej $\mathbb{R}$ciągów liczb rzeczywistych, z mnożeniem i dodawaniem określonym przez składową. Powszechnie wiadomo, że przez podprzestrzeń$\mathbb{R}^\infty$ ciągów z tylko skończoną liczbą niezerowych składników ma podstawę $\mathbf{e}_1 = (1, 0, 0, 0, \ldots), \mathbf{e}_2 = (0, 1, 0, 0, \ldots)$, to nie jest podstawa $\mathbb{R}^\mathbb{N}$ (wyrażając stałą sekwencję $(1, 1, 1, \ldots)$ wymagałoby nieskończonej sumy $\mathbf{e}_1 + \mathbf{e}_2 + \mathbf{e}_3 + \cdots$i nieskończone sumy w ogólnych przestrzeniach wektorowych są niezdefiniowane). Udowodniono również, że stwierdzenie, że wszystkie przestrzenie wektorowe mają podstawę, jest równoważne z aksjomatem wyboru.
Interesuje mnie jednak specyficzna przestrzeń $\mathbb{R}^\mathbb{N}$. Czy udowodniono, że podstawa tego zbioru wymaga aksjomatu wyboru i nie można jej jednoznacznie opisać? To nie jest zadanie domowe ani nic takiego; Jestem po prostu ciekawy.
Odpowiedzi
Żaden pojedynczy konkretny zestaw dopuszczający określoną właściwość nie implikowałby aksjomatu wyboru. Kropka. Aksjomatem wyboru jest instrukcja globalna, a stwierdzenia dotyczące zbioru z pewną właściwością są lokalne (nie mówię o instrukcji globalnej, np. „Dla każdego zestawu$A$, $A\times X$ może być dobrze uporządkowany ”zakłada aksjomat wyboru dla dowolnego stałego zbioru $X$, To jest oszukiwanie).
Aksjomat wyboru zawsze może się nie powieść, tak bardzo, jak chcemy, żeby zawiódł, podczas gdy liczby rzeczywiste i każdy zbiór, o który kiedykolwiek byś się przejmował, mogą być dobrze uporządkowane, tak aby wszystkie przestrzenie wektorowe ", które mają znaczenie", mają podstawa. Innymi słowy, aksjomat wyboru to zdanie globalne, więc jego negacja nie dotyczy jednego zbioru. Chodzi o istnienie kontrprzykładu.
(Właściwie nie wiemy nawet, czy jest pole $F$ takie, że „Wszystkie przestrzenie wektorowe powyżej $F$ mieć podstawę "zakłada aksjomat wyboru; mówienie o globalnych stwierdzeniach przebranych za lokalne stwierdzenia).
Z drugiej strony jest spójne, że każdy zestaw liczb rzeczywistych ma właściwość Baire'a, co oznacza, że każda liniowa $T\colon\Bbb{R^N\to R^N}$jest ciągła. Niestety, będąc oddzielną przestrzenią, może istnieć tylko$2^{\aleph_0}$funkcje ciągłe; ale możemy łatwo pokazać, że podstawą$\Bbb{R^N}$ musi mieć rozmiar $2^{\aleph_0}$ i dlatego będzie $2^{2^{\aleph_0}}$funkcje liniowe wywołane właśnie przez permutacje takiej podstawy. I tak, rzeczywiście, jeśli wszystkie zestawy liczb rzeczywistych mają własność Baire'a, nie ma do tego żadnej podstawy$\Bbb{R^N}$ może istnieć.