Rachunek Spivaka: Rozdział 3 Problem 24b
24b) Załóżmy, że $f$ jest funkcją taką, że każda liczba $b$ można pisać $b = f(a)$ dla jakiejś liczby rzeczywistej $a$. Udowodnij, że istnieje funkcja$g$ takie że $f \circ g = I$
Myślę, że rozumiem to pytanie i rozumiem, jak je rozwiązać, ale staram się znaleźć sposób, aby wyrazić swoje rozwiązanie w matematycznie rygorystyczny sposób, szczególnie gdy $f$nie jest wstrzykiwany. Oto mój pomysł:
Przede wszystkim jeśli $f$ jest iniekcyjny, to jest trywialny.
Pozwolić $g(x) = a$, gdzie $x = f(a)$ dla każdego $a \in \text{domain}(f)$
Od $f$ jest iniekcyjny, z definicji jest tylko jedna wartość $a$ to satysfakcjonuje $x = f(a)$ dla każdego $x$, co znaczy $g$jest dobrze zdefiniowany. I$\text{domain}(g) = \text{image}(f)$ (z definicji $g$), którym z przypuszczenia w pytaniu jest $\mathbb{R}$. Również,$\text{domain}(f) = \text{image}(g)$, od $f$ i $g$są iniekcyjne (ale to nie jest ważne). Więc$f(g(x))$ jest zdefiniowany dla wszystkich $x ∈ \mathbb{R}$. Wreszcie,$f(g(x))$ = $f(a)$, gdzie $x = f(a)$ dla $x ∈ \mathbb{R} \to f(g(x)) = I(x)$.
Ale teraz, jeśli $f$nie jest iniekcyjny, staje się bardziej skomplikowany. Jeśli zachowam moją pierwotną definicję$g$będąc "$g(x) = a$, gdzie $x = f(a)$ dla każdego $a \in \text{domain}(f)$”, to nie działa, ponieważ $g$nie jest już funkcją. Ponieważ od$f$ nie jest iniekcyjny, istnieją co najmniej 2 liczby $z$ i $w$ takie że $z \neq w$ ale $f(z) = f(w)$co oznacza, że istnieje $x$ takie, że: $g(x) = z = w$.
Myślę, że chodzi o to, aby po prostu przedefiniować $g$ po prostu „wybrać” albo $z$ lub $w$i przypisz go do $x$. Na przykład może wybrać mniejszy z dwóch. Jedyna różnica to teraz$\text{domain}(f) \subset \text{image}(g)$, zamiast $\text{domain}(f) = \text{image}(g)$. Ale ponieważ wcześniej ten fakt nie był ważny, wniosek w tym pytaniu jest nadal aktualny.
Oto moje pytanie. Jak wyraźnie zapisać definicję$g$ która „wybiera” mniejszy z $z$ lub $w$? Ponadto pamiętaj, że istnieją co najmniej 2 liczby zi w. Takich liczb może być dowolnie więcej$f(z) = f(w) = f(m) = f(n)$i tak dalej. A to tylko jedna z arbitralnych gałęzi wspólnych wartości$f$może podjąć. Może istnieć inny zestaw liczb$f(z_2) = f(w_2) = f(m_2)$ i tak dalej, które nie są równe $f(z)$itp.
Zaczyna się robić bałagan. Jak mogę wyrazić$g$ matematycznie?
Odpowiedzi
Błąd, który zauważyłeś, jest prawdziwy, dobrze zrobiony, że go dostrzegłeś! To, o co jesteś proszony, jest zasadniczo aksjomatem wyboru dla liczb rzeczywistych. Jest to aksjomat, ponieważ nie można udowodnić (wersja ogólna) na podstawie innych aksjomatów teorii mnogości, chociaż wydaje się to sensowne.
Masz więc dwie opcje:
- Możesz przeoczyć fakt, że twoja definicja ma ten problem i po prostu powiedzieć: „Cóż, po prostu wybierz jedną z opcji, nic dziwnego tutaj nie widać”.
- Możesz powołać się na aksjomat wyboru. Mówi (prosto z artykułu w Wikipedii): Dla każdej indeksowanej rodziny$(S_i)_{i\in I}$ niepustych zbiorów (gdzie $I$ jest jakiś zbiór indeksujący) istnieje rodzina $(x_i)_{i\in I}$ takie że $x_i \in S_i$ dla każdego $i\in I$. Zostawiam wam ustalenie, jak dostać się do roszczenia Spivaka. (Właściwie moim ulubionym sformułowaniem aksjomatu wyboru jest w zasadzie to, co musisz udowodnić, ale nie ogranicza się do liczb).
Załóżmy, że istnieje jawna funkcja wyboru $C :\mathcal P(\mathbb R) \rightarrow \mathbb{R}$.
Pozwolić $A \subset \mathbb{R}$. Zgodnie z definicją,$C(A) = r$ dla niektórych $r \in \mathbb{R}$.
Zauważ, że jeśli $A \subset \mathbb{R}$, to wyraźnie: $\{~~A \setminus C(A)~~\}$ $\subset \mathbb{R}$.
Teraz zdefiniuj funkcję $A_n : \mathcal P(\mathbb R) \to \mathcal P(\mathbb R)$ rekurencyjnie w następujący sposób:
$A_1(A)$ = $A$
$A_2(A)$ = $A_1(~~A_1 \setminus \{C(A_1)\}~~)$
$A_3(A)$ = $A_2(~~A_2 \setminus \{C(A_2)\}~~)$
itd itd.
Formalnie:
$A_1(A)$ = $A$
Gdyby $A = \emptyset$, Następnie: $A_n(\emptyset) = \emptyset$
Gdyby $A \neq \emptyset$, Następnie: $A_n(A)$ = $A_{n-1}(~~A_{n-1} \setminus C(A_{n-1}~~)$ $~~~~\forall n \in \mathbb{N}, n > 1$
Zasadniczo to, co robię, to stosowanie funkcji wyboru $C$ do $A$ aby wybrać konkretną liczbę rzeczywistą $r_1$ w $A$, a następnie definiowanie $A_2$ być zestawem {$A$ brakujący $r_1$}, a następnie zastosowanie $C$ do $A_2$ aby wybrać inną liczbę rzeczywistą $r_2$ w $A$, a następnie definiowanie $A_3$ być zestawem {$A$ brakujący ($r_1$ i $r_2$)}, itd itd.
Ok, teraz zdefiniuj inną funkcję $Z:A \rightarrow \mathbb{N}$ używając oryginalnej funkcji wyboru $C$ i nowy $A_n$ działają tak:
$Z(r)= \{n, ~where ~r=C(A_n)$
Ta funkcja $Z$jest bardzo wyjątkowy. Każdy element$r \in A$ odpowiada unikalnej wartości $Z(r)$. Innymi słowy,$Z$ jest w stanie odwzorować każdy element podzbioru liczb rzeczywistych na unikalną liczbę naturalną $n$.
Czuję, że Cantor będzie miał coś do powiedzenia na ten temat ...
Gdyby $f$ nie jest funkcją iniekcyjną, $f$ można zapisać jako $f = \{(x_1,f_1), (x_2,f_2)\cdots \} + \{(x_{1+i},f_i),(x_{2+i},f_i)\cdots \} + \{((x_{1+2i},f_{2i}),(x_{2+2i},f_{2i})\cdots \} + \cdots$ gdzie $(x_{a+bi} = x_{c+di}) \implies (a+bi = c+di)$ i $(f_{a+bi} = f_{c+di}) \implies (a+bi = c+di)$.
Definiować $\hat f = \{(x_1,f_1), (x_2,f_2)\cdots \}$
Definiować $A_n = \{(x_{1+ni},f_{ni}),(x_{2+ni},f_{ni}) \cdots \}$
$\therefore f= \hat f + \sum_{p=1}^Z A_p$, gdzie $Z \in \mathbb{N}$ lub $Z = \infty$
Teraz używając AoC: Skonstruuj nowy zestaw $\hat A$ który zawiera dokładnie jedną zamówioną parę $(x_{a+ni},f_{ni})$ z każdego $A_n$.
Definiować $f_{\text{injective}} = \hat f + \hat A$
Wreszcie zdefiniuj $g(x) = a$, gdzie $(a,x) \in f_{\text{injective}}$