Reguła łańcucha kowariantnych pochodnych wyższego rzędu
Pozwolić $(M,g)$być rozmaitością riemannowską. Pozwolić$\nabla_v$ być kowariantną pochodną w $v$ kierunek dla wszystkich $v\in T_xM$i oznaczaj za pomocą $\nabla^k h$ the $(k,0)$-Pole tensorowe zdefiniowane indukcyjnie we współrzędnych lokalnych przez $$ \nabla^0h=dh,\quad(\nabla^kh)_{i_1,\dots,i_k}=(\nabla_{\partial_{i_1}}h)_{i_2,\dots,i_k}. $$ dla każdej płynnej funkcji $h$.
Moje pytanie brzmi: czy istnieje dobry sposób na wyrażenie różnicy $\nabla\nabla_udh-\nabla_u\nabla dh$?
Aby uniknąć nieporozumień, rozważam wyrażenie podane przez $$ \nabla(\nabla_udh)(X,Y)-\nabla_u(\nabla dh)(X,Y)=\nabla_X(\underbrace{\nabla_udh}_{(1,0) -tensor\,field})(Y)-\nabla_u(\underbrace{\nabla dh}_{(2,0)-tensor\,field})(X,Y). $$Wygląda to trochę podobnie do tensora krzywizny riemannowskiej zastosowanego do form. Próbowałem rozwinąć tę różnicę, ale nie widzę nic znajomego. Mówiąc bardziej ogólnie (ale może za dużo proszę), czy istnieje fajny sposób pisania$$ \nabla^k\nabla_udh-\nabla_u\nabla^kdh=? $$
Odpowiedzi
pisać $\nabla_u dh = c^1_1 ( u\otimes \nabla dh)$, gdzie $c^1_1$ jest więc skurczem
\begin{align} \nabla (\nabla_u dh ) &= \nabla(c^1_1 ( u\otimes \nabla dh)) \\ &=c^1_1 \nabla (u\otimes \nabla dh) \\ &= c^1_1( \nabla u \otimes \nabla dh + u \otimes \nabla \nabla dh) \end{align}
W szczególności oznacza to dla wszystkich $X, Y$i używając tożsamości Ricci ,
\begin{align} \nabla (\nabla_u dh ) (X, Y) &= (\nabla_{\nabla_X u} dh) (Y)+ \nabla_X \nabla_u dh (Y)\\ &= (\nabla_{\nabla_X u} dh) (Y)+ \nabla_u \nabla_X dh (Y) + R(u, X)dh (Y) \end{align}
a zatem
$$\big( \nabla (\nabla_u dh ) - \nabla_u \nabla dh \big)(X, Y) = (\nabla_{\nabla_X u} dh) (Y)+ R(u, X)dh (Y).$$
więc zgodnie z oczekiwaniami wychodzą warunki krzywizny. Mamy też$\nabla u$. Ogólnie przy obliczaniu$$ \nabla^k \nabla_u dh- \nabla _u \nabla^k dh,$$ musisz różnicować $u$ $k$-time i użyj tożsamości Ricci $k$-czasy. Chyba nie będzie fajnej formuły.