Rola monotoniczności w ciągach o ograniczonej zmienności.

Aug 16 2020

Odwołaj to; Sekwencja$\left\{x_{n}\right\}$liczb rzeczywistych mówi się o ograniczonej zmienności, jeśli szeregi$$ \sum_{k=2}^{\infty}\left|x_{k}-x_{k-1}\right| $$Zbiega się.

Wiemy, że ciąg zbieżny nie musi być ciągiem o ograniczonej zmienności, biorąc$x_n=\frac{1}{n}$nawet$n$oraz$0$na dziwo$n$. Ale co z monotonnymi sekwencjami zbieżnymi? Czy są to sekwencje ograniczonej zmienności? Jeśli tak, jak to udowodnić?

Odpowiedzi

4 ArcticChar Aug 16 2020 at 16:52

Podpowiedź: Jeśli$\{x_n\}$wzrasta,

$$\sum_{k=2}^n |x_k - x_{k-1}| = \sum_{k=2}^n x_k - x_{k-1} = x_n - x_1.$$