Rozwiązywanie rekurencji przez analogię z równaniem różniczkowym

Aug 16 2020

Natknąłem się na ten problem:


Niech sekwencja $u_n$ być zdefiniowana przez pierwszy termin $u_0 > 0$ i $$\forall n \in \mathbb{N}, \quad u_{n+1} = u_n + \frac{1}{u_n}$$ Znajdź asymptotyczną formułę dla $u_n$.


Pomyślałem, że możemy to rozwiązać przez analogię do równania $$f' = \frac{1}{f}$$ co daje formułę asymptotyczną $u_n \sim \sqrt{2 n}$i to jest rzeczywiście właściwa odpowiedź.

Mówiąc bardziej ogólnie, bierzemy $u_0 > 0, \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} = u_n + f(u_n)$jakie byłyby warunki dla funkcji ciągłej, dodatniej, malejącej $f$ takie, że metoda analogii z równaniem różniczkowym daje właściwy wzór asymptotyczny?

Wielkie dzięki !

Odpowiedzi

BenGrossmann Aug 15 2020 at 23:34

Jak zauważono w poniższym komentarzu, ta odpowiedź jest nieprawidłowa


Przypuszczam, że $y$ jest rozwiązaniem równania różniczkowego $y' = f(y)$, i $u_n$ rozwiązuje nawrót $u_{n+1} = u_n + f(u_n)$ z $u_0 = y(0)$. Za pomocą twierdzenia o wartości średniej stwierdzamy, że dla wszystkich$n$istnieje plik $c \in [n,n+1]$ dla którego $y(n+1) - y(n) = y'(c).$ Dlatego $f$ maleje, mamy $$ f(y(n)) = y'(n) \geq y(n+1) - y(n) \geq y'(n+1) = f(y(n+1)). $$ Teraz przypuśćmy, że $w_n$ spełnia $w_{n+1} = w_n + f(w_n)$, i $w_0 = y(1)$. Znajdujemy to indukcyjnie$u_n \leq y(n) \leq w_n$. W szczególności mamy to, jeśli zachodzi nierówność$n = k$, następnie $$ \begin{align} w_{k+1} &= w_k + f(w_k) \geq y(k) + f(w_k) \geq y(k) + f(y(k)) \\ & \geq y(k) + [y(k+1) - y(k)] = y(k+1), \end{align} $$ i nierówności $y(k+1) \geq u_{k+1}$ można zobaczyć podobnie.

Na tej podstawie możemy stwierdzić, co następuje: jeśli $f$ jest taki, że nawrót $u_{n+1} = f(u_n) + u_n$ ma takie same asymptotyki dla wszystkich $u_0 > 0$, to wynika, że ​​asymptotyka ciągu $(y(n))_{n \in \Bbb N}$ wygenerowane z rozwiązania do $y' = f(y)$ z $y(0) > 0$ są takie same.