Stosunki wielomianów i pochodnych w ramach pewnego funkcjonału

Question

Pozwolić $p(x)$ być wielomianem stopnia $n>2$, z korzeniami $x_1,x_2,\dots,x_n$(w tym wielokrotności). Pozwolić$m$być dodatnią parzystą liczbą całkowitą. Zdefiniuj następujące mapowanie$$V_m(p)=\sum_{1\leq i<j\leq n}(x_i-x_j)^m.$$

PYTANIE. Dla$\deg p(x)=n>2$ i $p'(x)$ czy możesz wyrazić jego pochodną $$\frac{V_m(p)}{V_m(p')}$$ jako funkcja $m$ i $n$ sam?

Uwaga. Podpowiedziany pytaniami Fedora, jako wizytówka właśnie to obliczyłem (nie udowodniłem)$$\frac{V_2(p)}{V_2(p')}=\frac{n^2}{(n-1)(n-2)}.$$

Answer 1

Tutaj kod SageMath, który zapewnia funkcję V(m)obliczeniową$V_m(p)$ pod względem elementarnych symetrycznych funkcji $x_1,\dots,x_n$ (tj. współczynniki $p$).

Na przykład, jeśli $p(x) = x^n - e_1 x^{n-1} + e_2 x^{n-2} + \dots$, następnie $$V_2(p) = (n-1)e_1^2 - 2n e_2,$$ $$V_4(p) = (n-1) e_1^4 - 4n e_2 e_1^2 + (2n+12)e_2^2 + (4n-12) e_3 e_1 - 4n e_4,$$ i tak dalej.

Z tych wyrażeń dowód za $m=2$podąża natychmiast. Jednak dla większych$m$ stosunek $\frac{V_m(p)}{V_m(p')}$ nie wydaje się być funkcją $n$, dla których testowałem komputerowo $m$ aż do $20$.

Answer 2

Gdyby to była prawda, $V_m(p)/V_m(p'')=(V_m(p)/V_m(p'))\times(V_m(p')/V_m(p''))$ również zależałoby tylko od $m$ i $n=\deg p$i tak dalej, aż otrzymamy $V_m(p)/V_m(p^{(n-2)})$. Mamy$$V_m(p^{(n-2)})=V_m\left(\frac{n!}2x^2-(n-1)!\left(\sum x_i\right)x+(n-2)!\sum_{i<j} x_ix_j\right)=c_{nm}\left((n-1)\left(\sum x_i\right)^2-2n\sum_{i<j}x_ix_j\right)^{m/2}=\tilde{c}_{nm} V_2(p)^{m/2}.$$ Więc gdyby to była prawda, zrobilibyśmy to $V_m(p)=C_{nm} (V_2(p))^{m/2}$. To już nieprawda$n=m=4$: jeśli wszystkie korzenie $p$ są 0 i 1, mamy $V_4=V_2$, ale $V_2^2/V_4=V_2$ nie jest naprawiony.