Topologia - każda mapa ilorazów iniekcyjnych jest homeomorfizmem

Question

Pokażę, że każda iniekcyjna mapa ilorazu jest homeomorfizmem:

Pozwolić $(X,\tau_{X})$, $(Y,\tau_{Y})$ być przestrzeniami topologicznymi.

Definicje:

$q:X \rightarrow Y$ jest mapą ilorazową iff $q$ jest surjektywny ($q[X] = Y$) i $$ \forall V\subseteq Y: V\in \tau_{Y} \iff q^{-1}[V] \in \tau_X $$ gdzie $[]$ służy do oznaczenia obrazu funkcji. $f:X \rightarrow Y$ jest homeomorfizmem iff $f$ jest bijektywny i $$ \forall U\subseteq X: U\in \tau_{X} \iff f[U] \in \tau_Y $$

Lemat: $$\forall x \forall y: P(x,y) \implies Q(x)$$ jest równa $$\forall x: Q(x) \land \forall x \exists y: P(x,y)$$

Dowód lematu: dowód

Dowód:

Wystarczy pokazać, że jeśli $q$ jest iniekcyjny, $\forall V\subseteq Y: V\in \tau_{Y} \iff q^{-1}[V] \in \tau_X$ jest równa $\forall U\subseteq X: U\in \tau_{X} \iff q[U] \in \tau_Y$.

Uwagi: Iniektywność $q$ zapewnia $q^{-1}[q[U]] = U$ dla wszystkich $U \subseteq X$. Na surowo$q$, $\forall V \subseteq Y: \exists U \subseteq X: q[U] = V$ jest logiczną koniecznością.

$$ \begin{align} &\forall V\subseteq Y: V\in \tau_{Y} \iff q^{-1}[V] \in \tau_X& \\ &\iff (\forall V\subseteq Y: V\in \tau_{Y} \iff q^{-1}[V] \in \tau_X) \land (\forall V \subseteq Y: \exists U \subseteq X: q[U] = V)& \text{Tautology}\\ &\iff \forall V\subseteq Y : \forall U \subseteq X: q[U] = V \implies V\in \tau_{Y} \iff q^{-1}[V] \in \tau_X & \text{Lemma}\\ &\iff \forall U \subseteq X: \forall V\subseteq Y : q[U] = V \implies q[U]\in \tau_{Y} \iff q^{-1}[q[U]] \in \tau_X &p \rightarrow q \iff p\rightarrow p \land q\\ &\iff \forall U \subseteq X: \forall V\subseteq Y : q[U] = V \implies q[U]\in \tau_{Y} \iff U \in \tau_X & \text{Injectivity}\\ &\iff (\forall U\subseteq X : q[U]\in \tau_{Y} \iff U \in \tau_X) \land (\forall U \subseteq X:\exists V \subseteq Y: q[U] = V) &\text{Lemma}\\ &\iff \forall U\subseteq X : q[U]\in \tau_{Y} \iff U \in \tau_X& \text{Tautology}\\ \end{align} $$

Czy to jest poprawne?

Answer 1

Twój dowód jest poprawny, ale jest trudny do zrozumienia i niepotrzebnie skomplikowany.

Twój lemat jest czysto logicznym stwierdzeniem i niezwykłe jest rozpoczynanie od takiego stwierdzenia konkretnego dowodu. W rzeczywistości wszystkie argumenty opierają się na logice i musimy przyjąć te podstawy jako oczywiste. W przeciwnym razie każdy dowód musiałby zaczynać się od wyjaśnienia wszystkich zagadnień logicznych, teoretycznych itp.

Istota twoich argumentów jest taka:

1. Dowolna mapa ilorazowa $q$ jest ciągłą falą.

2. Dowolna mapa ilorazów iniekcyjnych $q$jest ciągłym bijakiem. Dlatego wystarczy pokazać, że jeśli$U \in \tau_X$, następnie $p(U) \in \tau_Y$. Ale od tego czasu jest to oczywiste$p^{-1}(p(U)) = U$ dla map iniekcyjnych.