Udowodnienie określonego podzbioru jest subkompleksem CW

Question

Mam problem ze szczegółem w dowodzie z topologii algebraicznej Hatchera (prop. A.1 na str. 520 dla zainteresowanych, chociaż nie sądzę, że jest to istotne): Mamy kompleks CW$X$ i $n$-komórka $e_\alpha^n \subset X$, a obraz dołączanej mapy tej komórki jest zawarty w skończonym subkompleksie $A \subset X$. Hatcher tak twierdzi$A \cup e_\alpha^n$to skończony subkompleks, ale nie rozumiem dlaczego. Próbuję pokazać, że granica$e_\alpha^n$ jest zawarty w $A$ale nigdzie nie dojdę. Czy to ogólnie prawda, że ​​zamknięcie pliku$n$-cell jest jego połączeniem z obrazem dołączonej mapy?

EDYCJA: Chciałbym to udowodnić bez powoływania się na fakt, że kompleksy CW to Hausdorff, ponieważ książka jeszcze tego nie udowodniła.

Answer 1

Niezwykle łatwo jest wykazać, że kompleks CW to Hausdorff, dołącz go do dowodu, jeśli się o to martwisz.

Z tym faktem zamknięcie otwartej komórki $e \rightarrow X$ jest obrazem $e \cup S^n \rightarrow X$podane przez włączenie otwartej komórki i charakterystycznej mapy na granicy. To dlatego, że$e \cup S^n = D^{n+1}$jest zwarty, a obraz zbioru zwartego jest zwarty, co w przestrzeni Hausdorffa oznacza zamknięcie. To najmniejszy zamknięty zestaw zawierający obraz$e$ ponieważ dowolny punkt na obrazie mapy charakterystycznej znajduje się w granicach obrazu $e$.