Udowodnienie, że funkcja fragmentaryczna jest integrowalna metodą Darboux $[0,2]$ wsparcie

Aug 16 2020

Pozwolić $f:[0,2] \rightarrow \mathbb{R}$ być podane przez

$$f(x) = \left\{ \begin{array}\ 10,\quad \ 0\leq x < 1, \\ 100,\quad \ x = 1, \\ -5,\quad \ 1 < x \leq 2. \\ \end{array} \right. $$

Udowodnij to $f$ jest Darboux integrowalny i obliczeniowy $\int_{0}^{2}f$.

Próba

To, że funkcja jest całkowalna Darboux, oznacza dla wszystkich $\epsilon > 0$istnieje partycja $P$ z $[0,2]$ takie że $U(f,P) - L(f,P) < \epsilon$.

Przypuszczać $P = \{t_{0}, \dots, t_{n}\}$ jest partycją $[0,2]$ z $t_{j-1} < 1 < t_{j}$.

Dla, $t_{0} < \dots < t_{j-1}$: $m_{i} = M_{i} = 10$

Także dla $t_{j} < \dots < t_{n}$: $m_{i} = M_{i} = -5$

Teraz mam problem z zarządzaniem $x = 1$gdzie jest nieciągłość i oczywiście wyzwanie problemu. Na początku zamierzałem to powiedzieć$m_{i} = M_{i} = 100$ niezależnie od tego, w którym przedziale jest liczba 1, a to dałoby mi:

$$L(f,P) = \sum_{i = 1}^{n}m_{i}(t_{i} - t_{i - 1}) = \sum_{i = 1}^{j-1}10(t_{i} - t_{i-1}) + 100(t_{j} - t_{j-1}) + \sum_{j+1}^{n}-5(t_{i} - t_{i-1})$$

i

$$U(f,P) = \sum_{i = 1}^{n}M_{i}(t_{i} - t_{i - 1}) = \sum_{i = 1}^{j-1}10(t_{i} - t_{i-1}) + 100(t_{j} - t_{j-1}) + \sum_{j+1}^{n}-5(t_{i} - t_{i-1})$$

Następnie odejmując te otrzymam $U(f,P) - L(f,P) = 0 < \epsilon$.

Ale czuję, że to nie jest właściwa odpowiedź i muszę wyrazić partycję nieco wyraźniej. I cokolwiek$U(f,P) - L(f,P)$to znaczy, ostatecznie zbiegnie się do tego, czym jest całka. A obliczając całkę (jako sprawdzenie przy użyciu wcześniejszych technik obliczania) otrzymuję$5$która nie jest wartością różnicy między sumą górną i dolną. Gdzie się mylę?

Odpowiedzi

1 enzotib Aug 16 2020 at 19:44

Naprawiony $\varepsilon$ i zabrane $\delta$ wystarczająco mały, możesz wziąć $$ t_{j-1}=1-\delta,\qquad t_j=1+\delta, $$
po to aby \begin{align} L(f,P) &= \sum_{i = 1}^{n}m_{i}(t_{i} - t_{i - 1}) = \sum_{i = 1}^{j-1}10(t_{i} - t_{i-1}) + \mathbf{(-5)}(t_{j} - t_{j-1}) + \sum_{j+1}^{n}(-5)(t_{i} - t_{i-1})=\\ &=10(1-\delta)-5\cdot2\delta-5(1-\delta)=5-15\delta\\ U(f,P) &= \sum_{i = 1}^{n}M_{i}(t_{i} - t_{i - 1}) = \sum_{i = 1}^{j-1}10(t_{i} - t_{i-1}) + 100(t_{j} - t_{j-1}) + \sum_{j+1}^{n}(-5)(t_{i} - t_{i-1})=\\ &=10(1-\delta)+100\cdot2\delta-5(1-\delta)=5+195\delta \end{align} żeby mieć $$ U(f,P)-L(f,P)=210\delta<\varepsilon $$ Masz wybór $$ \delta<\frac{\varepsilon}{180}. $$