Udowodnij to wszystkim $n \in \mathbb{N}$, $\sum_{k=0}^{n-1}{n+k-1\choose k}\frac 1{2^{n+k}}=\frac12$
$$ \sum_{k=0}^{n-1}{n+k-1\choose k}\frac 1{2^{n+k}}=\frac12$$
Szczerze mówiąc, nie mogę naprawdę zacząć,
Chciałbym prosić wszystkich o pomysł, jak go rozwiązać, dać mi impuls startowy, dziękuję.
Odpowiedzi
przepisujemy sumę w ten sposób;$$\sum_{k=0}^{k=n-1}\binom{n+k-1}{n-1}\frac{1}{2^{n+k}}$$
to jest tylko współczynnik $x^{n-1}$ w ekspansji $$\frac{{(1+x)}^{n-1}}{2^n}+\frac{{(1+x)}^n}{2^{n+1}}...+\frac{{(1+x)}^{2n-2}}{2^{2n-1}}$$
Rozpoznaj to jako lekarza ogólnego: dlatego szukamy współczynnika $x^{n-1}$ w $$\frac{1}{2^{n-1}}{(1+x)}^{n-1}\frac{1-{(\frac{x+1}{2})}^n}{1-x}$$
lub $$\frac{{(1+x)}^{n-1}(1+x+x^2..)-{(1+x)}^{2n-1}(1+x+x^2+x^3....)}{2^{2n-1}}$$ Współczynnik wynosi $$\frac{\left(\binom{n-1}{0}+\binom{n-1}{1}..+\binom{n-1}{n-1}\right)-\left(\binom{2n-1}{0}+\binom{2n-1}{1}+...\binom{2n-1}{n-1}\right)}{2^{2n-1}}$$ $$=\frac{2^{2n-1}-\frac{1}{2}2^{2n-1}}{2^{2n-1}}=\frac{1}{2}$$
Nawiasem mówiąc, sumowany iloczyn wygląda jak PMF ujemnego rozkładu dwumianowego , który powoduje wielokrotne przerzucanie czystej monety, aż$n$ głowy, jest $\frac 12$ prawdopodobieństwo, że było ich najwyżej $n-1$ ogony przed $n$głowa.
Pozwolić $\Pr(A)$ być prawdopodobieństwem, że było ich najwyżej $n-1$ ogony przed $n$głowa.
Następnie $1-\Pr(A)$ byłoby prawdopodobieństwo, że $n$ogon pojawia się, gdy było ich najwyżej $n-1$ głowy.
W przypadku uczciwej monety głowa i ogon są symetryczne i tak dalej
$$\Pr(A) = 1-\Pr(A) = \frac 12$$