Udowodnij, że podwójna przestrzeń $\ell^1$ jest $\ell^{\infty}$
Udowodnij, że podwójna przestrzeń $\ell^1$ jest $\ell^{\infty}$
Moja próba : otrzymałem odpowiedź tutaj, ale nie jestem w stanie zrozumieć odpowiedzi
wiemy, że norma $ x\in \ell^1$ jest dany przez $||x||_1=\sum_{k=1}^{\infty}|a_k|$
norma $ x\in \ell^{\infty}$ jest dany przez $||x||_{\infty}=\sup_{k\in \mathbb{N}}|a_k|$
Teraz zaczyna się mój dowód :
Od $\ell^1$ jest nieskończenie wymiarowy, ponieważ zawiera nieskończoną sekwencję w formie $(0,0,\dots,1,0,\dots)$
Więc istnieje podstawa $\{e_1,e_2,\dots,e_k\dots\}$ z $\ell^1$ gdzie $e_k=M_{jk}=\begin{cases} 1 &\text{ if } j=k \\ 0 & \text{ if } j \neq k. \end{cases}$
Oznacza to, że każdy plik $x \in \ell^1$ można zapisać jako $x=a_1e_1+a_2e_2+\dots$
Teraz weź ograniczony funkcjonał liniowy $f$ z $\ell^1$
$f: \ell^1 \to \mathbb{R}$ określony przez $f(x)= f(a_1e_1+a_2e_2+\dots)= a_1f(e_1)+a_2 f(e_2)+\dots=\sum_{k=1}^{\infty}a_kf(e_k)$
Po tym nie mogę kontynuować.
Odpowiedzi
Oczywiście każdy element $v\in\ell^\infty$ definiuje element dualności $\ell^1$, ponieważ jeśli $v=(v_j)$ i $x=(x_j)\in\ell^1$, następnie $$ v(x)=\sum_j v_jx_j\quad\text{and}\quad |v(x)|\le \sum_j |v_j||x_j|\le \big(\sup_j |v_j|\big)\sum_j|x_j|=\|v\|_\infty\|x\|_1 $$ Pozwolić $\varphi\in(\ell^1)^*$ i nastaw $v_j=\varphi(e_j)$ i $v=(v_j)$. Wyraźnie$$ |v_j|=|\varphi(e_j)|\le \|\varphi\|_*\|e_j\|_1=\|\varphi\|_* $$ i stąd $v\in\ell^\infty$ i $\|v\|_\infty\le \|\varphi\|_\infty$. Pozostaje to pokazać$\varphi(x)=v(x)$, dla wszystkich $x\in\ell^1$ i $\|v\|_\infty= \|\varphi\|_*$.
Wyraźnie, $\varphi(x)=v(x)$, dla $x=e_j$ i dla wszystkich $x$które są skończonymi liniowymi kombinacjami $e_j$jest. Oba są również ograniczonymi funkcjonałami liniowymi i zgadzają się co do gęstego podzbioru$\ell^1$i stąd wszędzie zgadzają się, tj. $v\equiv \varphi$.
Na koniec pozostaje to pokazać $\|v\|_\infty\ge\|\varphi\|_*$. Teraz dla każdego$\epsilon>0$istnieje wektor jednostkowy $w=(w_j)\in\ell^1$, takie że $$ |\varphi(w)|>\|\varphi\|_*-\epsilon $$ a także istnieje $n\in\mathbb N$, takie że $\|w-w(n)\|_1<\epsilon$, gdzie $w(n)=(w_1,w_2,\ldots,w_n,0,0,\ldots)$ i wyraźnie $v(w(n))=\varphi(w(n))$. Więc$$ \|v\|_\infty\ge |v(w)|\ge |v(w_n)|-|v(w-w_n)|\ge|\varphi(w_n)|-\|v\|_\infty\|w-w_n\|_1 \\ \ge |\varphi(w)|-|\varphi(w-w_n)|-\epsilon\|v\|_1 \ge \|\varphi\|_*-\epsilon-\|\varphi\|_*|w-w_n|_1-\epsilon\|v\|_1 \\ \ge \|\varphi\|_*-\epsilon-\epsilon\|\varphi\|_*-\epsilon\|v\|_1= \|\varphi\|_*-\epsilon(1+\|\varphi\|_*+\|v\|_1) $$ i dotyczy to wszystkich $\epsilon>0$, co implikuje $\|v\|_\infty\ge\|\varphi\|_*$.