Zestawy Borela kontra zestawy Baire'a

Question

(1) Załóżmy, że mam zwartą przestrzeń Hausdorffa $X$z policzalną podstawą. Dlaczego algebra Borela$\mathcal{B}(X)$ (the $\sigma$-pole generowane przez zbiory otwarte) i algebrę Baire'a $\mathcal{B}a(X)$ (the $\sigma$-pole generowane przez kompakt $G_\delta$zestawy) są równe? Gdzie mogę znaleźć na to dowód?

(2) Załóżmy teraz, że $X$ma niezliczoną bazę. W tym wypadku,$\mathcal{B}(X)$ i $\mathcal{B}a(X)$już się nie pokrywają, a wiem, że biorąc pod uwagę zestawy Baire, unika się niektórych patologii zbiorów borelowskich. Co to za patologie? A jaki byłby przykład zestawu Borela, który nie jest Baire'em?

Answer 1

Aby zobaczyć w pierwszym przypadku, że zbiory Baire'a i Borela pokrywają się, wystarczy zauważyć, że generatory dla zestawów Baire'a (zwarte $G_\delta$) są zawsze borelowskie (zwartość oznacza zamknięte w przestrzeniach Hausdorffa), tak że Baire $\subseteq$Łatwo się nudzić. I jeśli$O$ jest otwarta, możemy ją zapisać jako policzalną sumę zwartą $G_\delta$ zestawy, więc wszystkie otwarte zestawy są w Baire $\sigma$-field, więc wszystkie zestawy Borela też. (Drugi policzalny zwarty Hausdorffa oznacza całkowicie normalny itd.)

Aby zobaczyć, co może pójść nie tak ogólnie, sprawdź $X=\omega_1 + 1$który jest zwarty Hausdorffa, ale nie drugi policzalny. W tym,$\{\omega_1\}$ jest zamknięty (tak Borel), ale nie Baire (Halmos udowadnia w swojej teorii miary, że zwarty zestaw to Baire, jeśli jest $G_\delta$a ten singleton nie jest). Środek Dieudonné dalej$X$to miara Borela, która nie jest regularna, ale jest regularna, gdy pracujemy na zestawach Baire'a. Zobacz książkę Halmosa lub obszerną pracę Fremlina w teorii miary topologicznej. Przyjmowanie zestawów Baire'a daje nam więcej niż wystarczającą ilość zestawów do robienia rzeczy integrujących itp. I daje lepsze zachowania pod względem właściwości regularności.