จำนวนเฉพาะคืออะไร และเหตุใดจึงมีความสำคัญ

Mar 23 2021

คุณอาจจำจากชั้นเรียนคณิตศาสตร์ว่าจำนวนเฉพาะเป็นตัวเลขที่สามารถหารด้วย 1 เท่านั้นและตัวมันเอง แต่ทำไมพวกเขาถึงมีความสำคัญอยู่แล้ว?

ตัวเลขเหล่านี้มีอะไรที่เหมือนกัน? พวกเขาทั้งหมดเป็นนายกรัฐมนตรี! geralt/Pixabay

หากคุณจำชั้นเรียนคณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษาได้เพียงเล็กน้อย คุณอาจจำไม่ได้ว่าจำนวนเฉพาะคืออะไร เป็นเรื่องน่าเสียดาย เพราะหากคุณพยายามรักษาอีเมลของคุณให้ปลอดภัยจากแฮกเกอร์หรือท่องเว็บอย่างเป็นความลับบนเครือข่ายส่วนตัวเสมือน (VPN) แสดงว่าคุณกำลังใช้หมายเลขเฉพาะโดยที่ไม่รู้ด้วยซ้ำ

นั่นเป็นเพราะว่าจำนวนเฉพาะเป็นส่วนสำคัญของการเข้ารหัส RSAซึ่งเป็นเครื่องมือทั่วไปในการปกป้องข้อมูล ซึ่งใช้หมายเลขเฉพาะเป็นกุญแจเพื่อปลดล็อกข้อความที่ซ่อนอยู่ภายในจำนวนมหาศาลของสิ่งที่ปลอมแปลงเป็นคำพูดที่ไม่มีความหมายทางดิจิทัล นอกจากนี้ จำนวนเฉพาะยังมีการใช้งานอื่นๆ ในโลกของเทคโนโลยีสมัยใหม่ รวมถึงมีบทบาทสำคัญในการกำหนดความเข้มของสีของพิกเซลบนหน้าจอคอมพิวเตอร์ที่คุณกำลังจ้องมองอยู่ในขณะนี้

แล้วจำนวนเฉพาะคืออะไร? และทำไมพวกเขาถึงมีความสำคัญในโลกสมัยใหม่?

ตามที่Wolfram MathWorld อธิบายจำนวนเฉพาะ – หรือเรียกง่ายๆ ว่าจำนวนเฉพาะ – เป็นจำนวนบวกที่มากกว่า 1 ที่สามารถหารด้วยตัวเดียวและตัวมันเองเท่านั้น

"จำนวนเฉพาะคู่เดียวคือ 2" Debi Minkรองศาสตราจารย์ด้านการศึกษาที่เพิ่งเกษียณจาก Indiana University Southeast อธิบาย ซึ่งเชี่ยวชาญในการสอนคณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษา "จำนวนเฉพาะอื่นๆ ทั้งหมดเป็นเลขคี่"

ตัวเลขเช่น 2, 3, 5, 7, 11, 13 และ 17 ถือเป็นจำนวนเฉพาะ ตัวเลขเช่น 4, 6, 8, 9, 10 และ 12 ไม่ใช่

Mark Zegarelliผู้เขียนหนังสือหลายเล่มเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ในซีรีส์ยอดนิยมเรื่อง "For Dummies" ซึ่งสอนหลักสูตรเตรียมสอบด้วย นำเสนอภาพประกอบเกี่ยวกับเหรียญที่เขาใช้กับนักเรียนบางคนเพื่ออธิบายความแตกต่างระหว่างจำนวนเฉพาะและตัวเลขประกอบซึ่งสามารถ หารด้วยตัวเลขอื่นนอกเหนือจากตัวหนึ่งและตัวมันเอง (จำนวนรวมอยู่ตรงข้ามกับจำนวนเฉพาะ)

"คิดถึงเลข 6" เซกาเรลลีกล่าวโดยอ้างหมายเลขประกอบ “ลองนึกภาพว่าคุณมีเหรียญหกเหรียญ คุณสามารถสร้างมันให้เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าโดยมีเหรียญสองแถวสามเหรียญ คุณสามารถทำได้ด้วยแปดเหรียญเช่นกัน โดยการวางสี่เหรียญเป็นสองแถว ด้วยหมายเลข 12 คุณสามารถทำให้มันเป็น สี่เหลี่ยมผืนผ้ามากกว่าหนึ่งประเภท — คุณสามารถมีเหรียญหกเหรียญสองแถวหรือสามคูณสี่ได้ "

“แต่ถ้าคุณเอาเลข 5 มา ไม่ว่าคุณจะพยายามยังไง คุณไม่สามารถทำให้มันเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าได้” Zegarelli กล่าว "สิ่งที่ดีที่สุดที่คุณสามารถทำได้คือร้อยเป็นบรรทัดเดียว แถวละห้าเหรียญ ดังนั้น คุณสามารถเรียก 5 เป็นตัวเลขที่ไม่เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าได้ แต่วิธีที่ง่ายกว่านั้นคือการเรียกมันว่าจำนวนเฉพาะ "

มีจำนวนเฉพาะอื่นๆ มากมาย — 2, 3, 7 และ 11 อยู่ในรายการด้วย และยังคงดำเนินต่อไปจากจุดนั้น นักคณิตศาสตร์ชาวกรีก Euclid ย้อนกลับไปราว 300 ปีก่อนคริสตศักราช ได้คิดค้นProof of the Infinitude of Primesซึ่งอาจเป็นการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ชิ้นแรกที่แสดงให้เห็นว่ามีจำนวนเฉพาะจำนวนนับไม่ถ้วน (ในสมัยกรีกโบราณ ซึ่งไม่ค่อยเข้าใจแนวคิดสมัยใหม่เกี่ยวกับอนันต์ ยูคลิดอธิบายปริมาณของจำนวนเฉพาะอย่างง่ายๆ ว่า"มากกว่าจำนวนเฉพาะจำนวนมากที่กำหนดไว้" )

อีกวิธีหนึ่งในการทำความเข้าใจจำนวนเฉพาะและจำนวนประกอบคือการคิดว่าเป็นผลคูณของปัจจัย Zegarelli กล่าว "2 คูณ 3 เท่ากับ 6 ดังนั้น 2 และ 3 เป็นตัวประกอบของ 6 ดังนั้น มีสองวิธีในการสร้างหก — 1 คูณ 6 และ 2 คูณ 3 ฉันชอบคิดว่าพวกมันเป็นคู่ตัวประกอบ ดังนั้นด้วยคอมโพสิต คุณมีคู่ตัวประกอบหลายคู่ ในขณะที่จำนวนเฉพาะ คุณมีคู่ตัวประกอบเพียงตัวเดียว คูณด้วยตัวของมันเอง "

การพิสูจน์ว่าจำนวนเฉพาะมีไม่จำกัดนั้นไม่ใช่เรื่องยาก Zegarelli กล่าว "ลองนึกภาพว่ามีเลขเฉพาะตัวสุดท้ายที่ใหญ่ที่สุด เราจะเรียกมันว่า P แล้วฉันจะเอาจำนวนเฉพาะทั้งหมดขึ้นไปเป็น P แล้วคูณเข้าด้วยกันทั้งหมด ถ้าฉันทำอย่างนั้นแล้วบวกหนึ่งเข้ากับผลคูณ , จำนวนนั้นต้องเป็นจำนวนเฉพาะ "

ในทางตรงกันข้าม หากตัวเลขเป็นจำนวนเชิงประกอบ มันหารด้วยจำนวนเฉพาะที่ต่ำกว่าเสมอ "คอมโพสิตสามารถหารด้วยคอมโพสิตอื่นๆ ได้เช่นกัน แต่ในที่สุด คุณสามารถแยกย่อยออกเป็นชุดของจำนวนเฉพาะได้" (ตัวอย่าง: หมายเลข 48 มี 6 และ 8 เป็นตัวประกอบ แต่คุณสามารถแยกย่อยออกเป็น 2 คูณ 3 คูณ 2 คูณ 2 คูณ 2)

ทำไมจำนวนเฉพาะมีความสำคัญ

เหตุใดจำนวนเฉพาะจึงเป็นที่ดึงดูดใจในหมู่นักคณิตศาสตร์มาเป็นเวลาหลายพันปี ดังที่ Zegarelli อธิบาย คณิตศาสตร์ระดับสูงจำนวนมากนั้นขึ้นอยู่กับจำนวนเฉพาะ แต่ก็มีการเข้ารหัสด้วย ซึ่งจำนวนเฉพาะมีความสำคัญอย่างยิ่งยวด เนื่องจากจำนวนที่มากจริงๆ มีลักษณะเฉพาะที่มีค่าเป็นพิเศษ ไม่มีวิธีที่รวดเร็วและง่ายดายในการบอกได้ว่ามันเป็นไพรม์หรือคอมโพสิตหรือไม่ เขากล่าว

ความยากลำบากในการแยกแยะระหว่างจำนวนเฉพาะขนาดใหญ่และส่วนประกอบจำนวนมากทำให้นักเข้ารหัสสามารถคำนวณตัวเลขประกอบจำนวนมากซึ่งเป็นตัวประกอบของจำนวนเฉพาะขนาดใหญ่สองจำนวนที่ประกอบด้วยตัวเลขหลายร้อยหลัก

"ลองนึกภาพว่าล็อคประตูของคุณเป็นตัวเลข 400 หลัก" เซกาเรลลีกล่าว “กุญแจคือหนึ่งในตัวเลข 200 หลักที่ใช้สร้างตัวเลข 400 หลักนั้น ถ้าผมมีปัจจัยหนึ่งอยู่ในกระเป๋า ผมก็มีกุญแจบ้านอยู่แล้ว” แต่ถ้าไม่ ไม่มีปัจจัยเหล่านั้น มันค่อนข้างจะเข้ายาก

นั่นเป็นเหตุผลที่นักคณิตศาสตร์ที่มีต่อการใช้แรงงานจะเกิดขึ้นกับช่วงเวลาที่มีขนาดใหญ่มากขึ้นในโครงการต่อเนื่องที่เรียกว่ายิ่งใหญ่อินเทอร์เน็ตเซนเนนายกค้นหา ในปี 2018 โครงการที่นำไปสู่การค้นพบของจำนวนเฉพาะที่ประกอบด้วยตัวเลข 23249425 พอที่จะเติม 9,000 หน้าหนังสือเช่น University of Portsmouth (อังกฤษ) นักคณิตศาสตร์Ittay ไวสส์เล่าว่าในการสนทนา ต้องใช้การคำนวณ 14 ปีจึงจะได้จำนวนเฉพาะขนาดยักษ์ ซึ่งมากกว่าจำนวนอะตอมโดยประมาณในจักรวาลที่สังเกตได้กว่า 230,000 เท่า!

จำนวนเฉพาะคืออะไร และเหตุใดจึงมีความสำคัญ

ทำไมจำนวนเฉพาะมีความสำคัญ

ตอนนี้มันเจ๋ง