สถิติ - ทฤษฎีบทของ Chebyshev

เศษส่วนของชุดตัวเลขใด ๆ ที่อยู่ภายใน k ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของจำนวนเหล่านั้นของค่าเฉลี่ยของจำนวนเหล่านั้นเป็นอย่างน้อย

$ {1- \ frac {1} {k ^ 2}} $

ที่ไหน -

$ {k = \ frac {the \ within \ number} {the \ standard \ deviation}} $

และ $ {k} $ ต้องมากกว่า 1

ตัวอย่าง

Problem Statement:

ใช้ทฤษฎีบทของ Chebyshev เพื่อค้นหาว่าเปอร์เซ็นต์ของค่าใดที่จะอยู่ระหว่าง 123 ถึง 179 สำหรับชุดข้อมูลที่มีค่าเฉลี่ย 151 และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 14

Solution:

เราลบ 151-123 และได้ 28 ซึ่งบอกเราว่า 123 เท่ากับ 28 หน่วยที่ต่ำกว่าค่าเฉลี่ย
เราลบ 179-151 และได้ 28 ด้วยซึ่งบอกเราว่า 151 คือ 28 หน่วยเหนือค่าเฉลี่ย
ทั้งสองรวมกันบอกเราว่าค่าระหว่าง 123 ถึง 179 ทั้งหมดอยู่ภายใน 28 หน่วยของค่าเฉลี่ย ดังนั้น "ภายในจำนวน" คือ 28
ดังนั้นเราจึงหาจำนวนส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน k ซึ่ง "ภายในจำนวน" 28 เท่ากับจำนวนโดยหารด้วยส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน:

$ {k = \ frac {the \ within \ number} {the \ standard \ deviation} = \ frac {28} {14} = 2} $

ตอนนี้เรารู้แล้วว่าค่าระหว่าง 123 ถึง 179 ทั้งหมดอยู่ภายใน 28 หน่วยของค่าเฉลี่ยซึ่งเหมือนกับภายใน k = 2 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของค่าเฉลี่ย ตอนนี้เนื่องจาก k> 1 เราสามารถใช้สูตรของ Chebyshev เพื่อหาเศษส่วนของข้อมูลที่อยู่ภายในค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน k = 2 ของค่าเฉลี่ย การแทนที่ k = 2 เรามี:

$ {1- \ frac {1} {k ^ 2} = 1- \ frac {1} {2 ^ 2} = 1- \ frac {1} {4} = \ frac {3} {4}} $

ดังนั้น $ {\ frac {3} {4}} $ ของข้อมูลจะอยู่ระหว่าง 123 ถึง 179 และตั้งแต่ $ {\ frac {3} {4} = 75} $% ที่แสดงว่า 75% ของค่าข้อมูลอยู่ระหว่าง 123 และ 179