สถิติ - การกระจายแกมมา

การแจกแจงแกมมาแสดงถึงการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบต่อเนื่องของตระกูลสองพารามิเตอร์ การแจกแจงแกมมาถูกคิดค้นขึ้นโดยทั่วไปการผสมพารามิเตอร์สามชนิด

  • พารามิเตอร์รูปร่าง $ k $ และพารามิเตอร์มาตราส่วน $ \ theta $

  • พารามิเตอร์รูปร่าง $ \ alpha = k $ และพารามิเตอร์มาตราส่วนผกผัน $ \ beta = \ frac {1} {\ theta} $ เรียกว่าพารามิเตอร์อัตรา

  • พารามิเตอร์รูปร่าง $ k $ และพารามิเตอร์เฉลี่ย $ \ mu = \ frac {k} {\ beta} $

พารามิเตอร์แต่ละตัวเป็นจำนวนจริงบวก การแจกแจงแกมมาคือการแจกแจงความน่าจะเป็นเอนโทรปีสูงสุดที่ขับเคลื่อนโดยเกณฑ์ต่อไปนี้

สูตร

$ {E [X] = k \ theta = \ frac {\ alpha} {\ beta} \ gt 0 \ และ \ ได้รับการแก้ไข \\ [7pt] E [ln (X)] = \ psi (k) + ln (\ theta) = \ psi (\ alpha) - ln (\ beta) \ และ \ ได้รับการแก้ไข } $

ที่ไหน -

  • $ {X} $ = ตัวแปรสุ่ม

  • $ {\ psi} $ = ฟังก์ชัน digamma

การกำหนดลักษณะโดยใช้รูปร่าง $ \ alpha $ และให้คะแนน $ \ beta $

ฟังก์ชั่นความหนาแน่นของความน่าจะเป็น

ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของการแจกแจงแกมมาได้รับเป็น:

สูตร

$ {f (x; \ alpha, \ beta) = \ frac {\ beta ^ \ alpha x ^ {\ alpha - 1} e ^ {- x \ beta}} {\ Gamma (\ alpha)} \ โดยที่ \ x \ ge 0 \ and \ alpha, \ beta \ gt 0} $

ที่ไหน -

  • $ {\ alpha} $ = พารามิเตอร์ตำแหน่ง

  • $ {\ beta} $ = scale พารามิเตอร์

  • $ {x} $ = ตัวแปรสุ่ม

ฟังก์ชันการแจกแจงสะสม

ฟังก์ชันการแจกแจงสะสมของการแจกแจงแกมมากำหนดเป็น:

สูตร

$ {F (x; \ alpha, \ beta) = \ int_0 ^ xf (u; \ alpha, \ beta) du = \ frac {\ gamma (\ alpha, \ beta x)} {\ Gamma (\ alpha)} } $

ที่ไหน -

  • $ {\ alpha} $ = พารามิเตอร์ตำแหน่ง

  • $ {\ beta} $ = scale พารามิเตอร์

  • $ {x} $ = ตัวแปรสุ่ม

  • $ {\ gamma (\ alpha, \ beta x)} $ = ฟังก์ชันแกมมาที่ไม่สมบูรณ์ต่ำกว่า

การกำหนดลักษณะโดยใช้รูปร่าง $ k $ และมาตราส่วน $ \ theta $

ฟังก์ชั่นความหนาแน่นของความน่าจะเป็น

ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของการแจกแจงแกมมาได้รับเป็น:

สูตร

$ {f (x; k, \ theta) = \ frac {x ^ {k - 1} e ^ {- \ frac {x} {\ theta}}} {\ theta ^ k \ Gamma (k)} \ ที่ไหน \ x \ gt 0 \ และ \ k, \ theta \ gt 0} $

ที่ไหน -

  • $ {k} $ = พารามิเตอร์รูปร่าง

  • $ {\ theta} $ = scale พารามิเตอร์

  • $ {x} $ = ตัวแปรสุ่ม

  • $ {\ Gamma (k)} $ = ฟังก์ชัน gamma ประเมินที่ k

ฟังก์ชันการแจกแจงสะสม

ฟังก์ชันการแจกแจงสะสมของการแจกแจงแกมมากำหนดเป็น:

สูตร

$ {F (x; k, \ theta) = \ int_0 ^ xf (u; k, \ theta) du = \ frac {\ gamma (k, \ frac {x} {\ theta})} {\ Gamma (k )}} $

ที่ไหน -

  • $ {k} $ = พารามิเตอร์รูปร่าง

  • $ {\ theta} $ = scale พารามิเตอร์

  • $ {x} $ = ตัวแปรสุ่ม

  • $ {\ gamma (k, \ frac {x} {\ theta})} $ = ฟังก์ชันแกมมาที่ไม่สมบูรณ์ต่ำกว่า