สถิติ - ทฤษฎีบทพหุคูณความน่าจะเป็น

สำหรับกิจกรรมอิสระ

ทฤษฎีบทระบุว่าความน่าจะเป็นของการเกิดขึ้นพร้อมกันของสองเหตุการณ์ที่เป็นอิสระนั้นได้รับจากผลคูณของความน่าจะเป็นของแต่ละเหตุการณ์

$ {P (A \ and \ B) = P (A) \ times P (B) \\ [7pt] P (AB) = P (A) \ times P (B)} $

ทฤษฎีบทเขาสามารถขยายไปยังเหตุการณ์ที่เป็นอิสระสามเหตุการณ์หรือมากกว่านั้นได้เช่นกัน

$ {P (A \ cap B \ cap C) = P (A) \ times P (B) \ times P (C) P (A, B \ and \ C) = P (A) \ times P (B) \ คูณ P (C)} $

ตัวอย่าง

Problem Statement:

วิทยาลัยต้องแต่งตั้งวิทยากรซึ่งต้องเป็น B.Com., MBA และ Ph. D ความน่าจะเป็นคือ $ {\ frac {1} {20}} $, $ {\ frac {1} {25} } $ และ $ {\ frac {1} {40}} $ ตามลำดับ ค้นหาความเป็นไปได้ที่จะให้บุคคลดังกล่าวได้รับการแต่งตั้งจากวิทยาลัย

Solution:

ความน่าจะเป็นของบุคคลที่เป็น B.Com.P (A) = $ {\ frac {1} {20}} $

ความน่าจะเป็นของบุคคลที่จะเป็น MBA P (B) = $ {\ frac {1} {25}} $

ความน่าจะเป็นของบุคคลที่เป็น Ph.DP (C) = $ {\ frac {1} {40}} $

การใช้ทฤษฎีบททวีคูณสำหรับเหตุการณ์อิสระ

$ {P (A, B \ and \ C) = P (A) \ times P (B) \ times P (C) \\ [7pt] = \ frac {1} {20} \ times \ frac {1} {25} \ times \ frac {1} {40} \\ [7pt] = .05 \ times .04 \ times .025 \\ [7pt] = .00005} $

สำหรับเหตุการณ์ที่ต้องพึ่งพา (ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข)

ตามที่กำหนดไว้ก่อนหน้านี้เหตุการณ์ที่ขึ้นต่อกันคือเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นหรือการไม่เกิดขึ้นของเหตุการณ์หนึ่งที่ส่งผลต่อผลลัพธ์ของเหตุการณ์ถัดไป สำหรับเหตุการณ์ดังกล่าวไม่สามารถใช้ทฤษฎีบทคูณที่ระบุไว้ก่อนหน้านี้ได้ ความน่าจะเป็นที่เกี่ยวข้องกับเหตุการณ์ดังกล่าวเรียกว่าความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขและกำหนดโดย

P (A / B) = $ {\ frac {P (AB)} {P (B)}} $ หรือ $ {\ frac {P (A \ cap B)} {P (B)}} $

อ่าน P (A / B) เป็นความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A เมื่อเหตุการณ์ B เกิดขึ้นแล้ว

ในทำนองเดียวกันความน่าจะเป็นตามเงื่อนไขของ B ที่ให้ A คือ

P (B / A) = $ {\ frac {P (AB)} {P (A)}} $ หรือ $ {\ frac {P (A \ cap B)} {P (A)}} $

ตัวอย่าง

Problem Statement:

เหรียญจะถูกโยน 2 ครั้ง การโยนส่งผลให้เกิดหัวเดียวและหางเดียว ความน่าจะเป็นที่การโยนลูกครั้งแรกทำให้เกิดหางเป็นอย่างไร?

Solution:

พื้นที่ตัวอย่างของเหรียญที่โยนสองครั้งจะได้รับเป็น S = {HH, HT, TH, TT}

ปล่อยให้เหตุการณ์ A เป็นการโยนลูกแรกที่เกิดหาง

เหตุการณ์ B คือหางเดียวและหัวเดียวเกิดขึ้น

$ {P (A) = \ frac {P (TH, TT)} {P (HH, HT, TH, TT)} = \ frac {2} {4} = \ frac {1} {2} \\ [ 7pt] P (A \ cap B) = \ frac {P (TH)} {P (HH, HT, TH, TT)} = \ frac {1} {4} \\ [7pt] ดังนั้น \ P (A / B) = \ frac {P (A \ cap B)} {P (A)} \\ [7pt] = \ frac {\ frac {1} {4}} {\ frac {1} {2}} \\ [7pt] = \ frac {1} {2} = 0.5} $