สถิติ - การประมาณช่วงเวลา

การประมาณช่วงเวลาคือการใช้ข้อมูลตัวอย่างเพื่อคำนวณช่วงเวลาของค่าที่เป็นไปได้ (หรือน่าจะเป็นไปได้) ของพารามิเตอร์ประชากรที่ไม่รู้จักซึ่งตรงกันข้ามกับการประมาณแบบจุดซึ่งเป็นตัวเลขเดียว

สูตร

$ {\ mu = \ bar x \ pm Z _ {\ frac {\ alpha} {2}} \ frac {\ sigma} {\ sqrt n}} $

ที่ไหน -

$ {\ bar x} $ = mean
$ {Z _ {\ frac {\ alpha} {2}}} $ = ค่าสัมประสิทธิ์ความเชื่อมั่น
$ {\ alpha} $ = ระดับความเชื่อมั่น
$ {\ sigma} $ = ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน
$ {n} $ = ขนาดตัวอย่าง

ตัวอย่าง

Problem Statement:

สมมติว่านักเรียนคนหนึ่งวัดอุณหภูมิเดือดของของเหลวบางอย่างสังเกตค่าที่อ่านได้ (เป็นองศาเซลเซียส) 102.5, 101.7, 103.1, 100.9, 100.5 และ 102.2 ใน 6 ตัวอย่างของเหลว เขาคำนวณค่าเฉลี่ยตัวอย่างเป็น 101.82 ถ้าเขารู้ว่าค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานสำหรับขั้นตอนนี้คือ 1.2 องศาการประมาณช่วงเวลาสำหรับค่าเฉลี่ยประชากรที่ระดับความเชื่อมั่น 95% คืออะไร?

Solution:

นักเรียนคำนวณค่าเฉลี่ยตัวอย่างของอุณหภูมิเดือดเป็น 101.82 โดยมีค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน $ {\ sigma = 0.49} $ ค่าวิกฤตสำหรับช่วงความเชื่อมั่น 95% คือ 1.96 โดยที่ $ {\ frac {1-0.95} {2} = 0.025} $ ช่วงความเชื่อมั่น 95% สำหรับค่าเฉลี่ยที่ไม่รู้จัก

$ {= ((101.82 - (1.96 \ times 0.49)), (101.82 + (1.96 \ times 0.49))) \\ [7pt] \ = (101.82 - 0.96, 101.82 + 0.96) \\ [7pt] \ = ( 100.86, 102.78)} $

เมื่อระดับความเชื่อมั่นลดลงขนาดของช่วงเวลาที่เกี่ยวข้องจะลดลง สมมติว่านักเรียนสนใจช่วงความเชื่อมั่น 90% สำหรับอุณหภูมิเดือด ในกรณีนี้ $ {\ sigma = 0.90} $ และ $ {\ frac {1-0.90} {2} = 0.05} $ ค่าวิกฤตสำหรับระดับนี้เท่ากับ 1.645 ดังนั้นช่วงความเชื่อมั่น 90% คือ

$ {= ((101.82 - (1.645 \ times 0.49)), (101.82 + (1.645 \ times 0.49))) \\ [7pt] \ = (101.82 - 0.81, 101.82 + 0.81) \\ [7pt] \ = ( 101.01, 102.63)} $

การเพิ่มขนาดตัวอย่างจะลดความยาวของช่วงความเชื่อมั่นโดยไม่ลดระดับความเชื่อมั่น เนื่องจากค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานลดลงเมื่อ n เพิ่มขึ้น

ขอบของข้อผิดพลาด

ขอบของข้อผิดพลาด $ {m} $ ของการประมาณช่วงเวลาถูกกำหนดให้เป็นมูลค่าเพิ่มหรือลบออกจากค่าเฉลี่ยตัวอย่างซึ่งกำหนดความยาวของช่วงเวลา:

$ {Z _ {\ frac {\ alpha} {2}} \ frac {\ sigma} {\ sqrt n}} $

สมมติว่าในตัวอย่างข้างต้นนักเรียนต้องการให้ส่วนต่างของข้อผิดพลาดเท่ากับ 0.5 โดยมีความเชื่อมั่น 95% การแทนค่าที่เหมาะสมลงในนิพจน์สำหรับ $ {m} $ และการแก้ปัญหาสำหรับ n ให้การคำนวณ

$ {n = {(1.96 \ times \ frac {1.2} {0.5})} ^ 2 \\ [7pt] \ = {\ frac {2.35} {0.5} ^ 2} \\ [7pt] \ = {(4.7 )} ^ 2 \ = 22.09} $

เพื่อให้บรรลุการประมาณค่าช่วงเวลา 95% สำหรับจุดเดือดเฉลี่ยที่มีความยาวรวมน้อยกว่า 1 องศานักเรียนจะต้องทำการวัด 23 ครั้ง