สถิติ - การแจกแจงแบบไคสแควร์

การแจกแจงไคสแควร์ (ไคสแควร์หรือ $ {X ^ 2} $ - การแจกแจง) พร้อมองศาอิสระ k คือการแจกแจงผลรวมของกำลังสองของตัวแปรสุ่มปกติมาตรฐานอิสระ k เป็นการแจกแจงความน่าจะเป็นหนึ่งในสถิติที่ใช้กันอย่างแพร่หลาย เป็นกรณีพิเศษของการกระจายแกมมา

การแจกแจงแบบไคสแควร์ถูกใช้อย่างกว้างขวางโดยนักสถิติเพื่อคำนวณสิ่งต่อไปนี้:

  • การประมาณช่วงความเชื่อมั่นสำหรับค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานประชากรของการแจกแจงปกติโดยใช้ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง

  • เพื่อตรวจสอบความเป็นอิสระของเกณฑ์การจำแนกสองตัวแปรเชิงคุณภาพหลายตัว

  • เพื่อตรวจสอบความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรจัดหมวดหมู่

  • เพื่อศึกษาความแปรปรวนของตัวอย่างที่การแจกแจงพื้นฐานเป็นปกติ

  • เพื่อทดสอบความเบี่ยงเบนของความแตกต่างระหว่างความถี่ที่คาดหวังและความถี่ที่สังเกตได้

  • เพื่อทำการทดสอบไคสแควร์ (ความดีของการทดสอบความพอดี)

ฟังก์ชั่นความหนาแน่นของความน่าจะเป็น

ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของการแจกแจงแบบไคสแควร์ได้รับเป็น:

สูตร

$ {f (x; k) =} $ $ \ begin {cases} \ frac {x ^ {\ frac {k} {2} - 1} e ^ {- \ frac {x} {2}}} {2 ^ {\ frac {k} {2}} \ Gamma (\ frac {k} {2})}, & \ text {if $ x \ gt 0 $} \\ [7pt] 0, & \ text {ถ้า $ x \ le 0 $} \ end {cases} $

ที่ไหน -

  • $ {\ Gamma (\ frac {k} {2})} $ = ฟังก์ชันแกมมาที่มีค่าฟอร์มปิดสำหรับพารามิเตอร์จำนวนเต็ม k

  • $ {x} $ = ตัวแปรสุ่ม

  • พารามิเตอร์ $ {k} $ = จำนวนเต็ม

ฟังก์ชันการแจกแจงสะสม

ฟังก์ชันการแจกแจงสะสมของการแจกแจงแบบไคสแควร์ได้รับเป็น:

สูตร

$ {F (x; k) = \ frac {\ gamma (\ frac {x} {2}, \ frac {k} {2})} {\ Gamma (\ frac {k} {2})} \\ [7pt] = P (\ frac {x} {2}, \ frac {k} {2})} $

ที่ไหน -

  • $ {\ gamma (s, t)} $ = ฟังก์ชันแกมมาที่ไม่สมบูรณ์ต่ำกว่า

  • $ {P (s, t)} $ = ฟังก์ชันแกมมาปกติ

  • $ {x} $ = ตัวแปรสุ่ม

  • พารามิเตอร์ $ {k} $ = จำนวนเต็ม