Probabilmente hai un'idea intuitiva di cosa sia un cerchio : la forma di un canestro da basket, una ruota o un quarto. Potresti anche ricordare dal liceo che il raggio è una qualsiasi linea retta che inizia dal centro del cerchio e termina al suo perimetro.
Un cerchio unitario è solo un cerchio che ha un raggio con una lunghezza di 1. Ma spesso, viene fornito con altre campane e fischietti.
Un cerchio unitario può essere utilizzato per definire relazioni triangolo rettangolo note come seno, coseno e tangente. Queste relazioni descrivono come gli angoli e i lati di un triangolo rettangolo si relazionano tra loro. Supponiamo, ad esempio, di avere un triangolo rettangolo con un angolo di 30 gradi e il cui lato più lungo, o ipotenusa, è una lunghezza di 7. Possiamo usare le nostre relazioni predefinite del triangolo rettangolo per calcolare le lunghezze dei due lati rimanenti del triangolo .
Questo ramo della matematica, noto come trigonometria , ha applicazioni pratiche quotidiane come edilizia, GPS, impianti idraulici, videogiochi, ingegneria, lavoro di falegname e navigazione aerea.
Per memorizzare un cerchio unitario standard, dobbiamo essere in grado di richiamare tre componenti principali:
- Quattro quadranti
- 16 angoli
- (x, y) coordinate per ciascuno dei 16 angoli, dove il raggio tocca il perimetro del cerchio
Per aiutarci, ricordiamo una gita all'Unità Pizza Palace. Prenditi qualche minuto per memorizzare quanto segue finché non puoi recitarlo senza guardare:
- 4 fette di pizza
- 3 torte per $ 6
- 2 tavoli quadrati
- 1 , 2, 3
Passaggio 1: 4 fette di pizza
Immagina una pizza intera, tagliata in quattro fette pari. In matematica chiameremmo queste quattro parti dei quadranti del cerchio .
Possiamo usare le coordinate (x, y) per descrivere qualsiasi punto lungo il bordo esterno del cerchio. La coordinata x rappresenta la distanza percorsa a sinistra oa destra dal centro. La coordinata y rappresenta la distanza percorsa verso l'alto o verso il basso. La coordinata x è il coseno dell'angolo formato dal punto, l'origine e l'asse x. La coordinata y è il seno dell'angolo.
In un cerchio unitario, una linea retta che viaggia a destra dal centro del cerchio raggiungerà il bordo del cerchio alla coordinata (1, 0). Se invece andassimo in alto, a sinistra o in basso, toccheremmo il perimetro rispettivamente a (0, 1), (-1, 0) o (0, -1).
I quattro angoli associati (in radianti, non in gradi) hanno tutti un denominatore di 2. (Un radiante è l'angolo fatto quando si prende il raggio e lo si avvolge attorno a un cerchio. Un grado misura gli angoli in base alla distanza percorsa. Un cerchio è di 360 gradi o 2π radianti).
I numeratori iniziano da 0, a partire dalla coordinata (1,0) e contano in senso antiorario di 1π. Questo processo produrrà 0π / 2, 1π / 2, 2π / 2 e 3π / 2. Semplifica queste frazioni per ottenere 0, π / 2, π e 3π / 2
Passaggio 2: 3 torte per $ 6
Inizia con "3 torte". Dai un'occhiata all'asse y. Gli angoli in radianti direttamente a destra ea sinistra dell'asse y hanno tutti un denominatore di 3. Ogni angolo rimanente ha un numeratore che include il valore matematico pi, scritto come π.
"3 torte per 6" viene utilizzato per richiamare i restanti 12 angoli in un cerchio unitario standard, con tre angoli in ciascun quadrante. Ciascuno di questi angoli è scritto come frazione.
Il "for $ 6" serve a ricordarci che in ogni quadrante i restanti denominatori sono 4 e poi 6.
La parte più complicata di questo passaggio è completare il numeratore per ogni frazione.
Nel quadrante 2 (quarto in alto a sinistra del cerchio), metti 2, poi 3, quindi 5 davanti a π.
Il tuo primo angolo nel quadrante 2 sarà 2π / 3. Sommando il 2 al numeratore e il 3 al denominatore si otterrà 5. Guarda l'angolo dritto nel quadrante 4 (quarto in basso a destra del cerchio). Metti questo 5 al numeratore davanti a π. Ripeti questo processo per gli altri due angoli nei quadranti 2 e 4.
Ripeteremo lo stesso processo per i quadranti 1 (in alto a destra) e 3 (in basso a sinistra). Ricorda, proprio come x è uguale a 1x, π è uguale a 1π. Quindi stiamo aggiungendo 1 a tutti i denominatori nel quadrante 1.
Il processo per elencare gli angoli in gradi (anziché in radianti) è descritto alla fine di questo articolo.
Passaggio 3: 2 tavoli quadrati
Il "2" in "2 tavoli quadrati" serve a ricordarci che tutte le restanti 12 coppie di coordinate hanno un denominatore di 2.
"Quadrato" ci ricorda che il numeratore di ogni coordinata include una radice quadrata. Stiamo solo iniziando con il quadrante 1 per semplificare le cose. (Suggerimento: ricorda che la radice quadrata di 1 è 1, quindi queste frazioni possono essere semplificate a 1/2.)
Passaggio 4: 1, 2, 3
L '"1, 2, 3" ci mostra la successione dei numeri sotto ogni radice quadrata. Per le coordinate x del quadrante 1, contiamo da 1 a 3, partendo dalla coordinata superiore e scendendo.
Le coordinate y hanno gli stessi numeratori, ma contano da 1 a 3 nella direzione opposta, dal basso verso l'alto.
Il quadrante 2 ha le stesse coordinate del quadrante 1, ma le coordinate x sono negative.
Il quadrante 3 cambia le coordinate xey dal quadrante 1. Anche tutte le coordinate xey sono negative.
Come il quadrante 3, anche il quadrante 4 cambia le coordinate xey del quadrante 1. Ma solo le coordinate y sono negative.
Angoli in gradi
Potresti voler fare riferimento agli angoli in gradi invece che in radianti. Per farlo, inizia da 0 gradi alla coordinata (1,0). Da lì aggiungeremo 30, 15, 15 e poi 30. Nel quadrante 1, aggiungiamo 30 a 0 per ottenere 30, aggiungere 15 a 30 per ottenere 45, aggiungere 15 a 45 per ottenere 60 e aggiungere 30 a 60 per ottenere 90.
Quindi ripetiamo il processo per i quadranti rimanenti, aggiungendo 30, 15, 15 e 30 fino a raggiungere la fine del cerchio. Quindi il quadrante 4 avrà angoli che vanno da 270 a 330 gradi (vedi figura 10).
Metterlo in pratica
In precedenza nell'articolo, abbiamo menzionato che un cerchio unitario potrebbe essere utilizzato per trovare due lati sconosciuti di un triangolo rettangolo con un angolo di 30 gradi e il cui lato più lungo, o ipotenusa, è una lunghezza di 7. Proviamolo.
Prendere nota di dove si trova 30 ° sul cerchio unitario. Usa quella linea e l'asse x per creare un triangolo come segue.
In un cerchio unitario, qualsiasi linea che inizia al centro del cerchio e termina al suo perimetro avrà una lunghezza di 1. Quindi, il lato più lungo di questo triangolo avrà una lunghezza di 1. Il lato più lungo di un triangolo rettangolo è noto anche come "ipotenusa". Il punto in cui l'ipotenusa tocca il perimetro del cerchio è a √3 / 2, 1/2.
Quindi sappiamo che la base del triangolo (sull'asse x) ha una lunghezza di √3 / 2 e l'altezza del triangolo è 1/2.
Un altro modo di pensarci è che la base è √3 / 2 volte la lunghezza dell'ipotenusa e l'altezza è 1/2 volte la lunghezza dell'ipotenusa.
Quindi, se invece l'ipotenusa è una lunghezza di 7, la nostra base del triangolo sarà 7 x √3 / 2 = 7√3 / 2. L'altezza del triangolo avrà una lunghezza di 7 x 1/2 = 7/2.
Ora è interessante
Si pensa che la trigonometria sia stata originariamente sviluppata nel I secolo a.C. per comprendere l'astronomia, lo studio delle stelle e il sistema solare. È ancora utilizzato nell'esplorazione spaziale da aziende del calibro della NASA e delle società di trasporto spaziale private.
