Nel thriller del 2003 di Dan Brown, il bestseller del 2003, "Il Codice Da Vinci", c'è un po' di botta e risposta nel libro tra l'eroe del libro, Robert Langdon, e la crittografa Sophie Neveu, in cui esprime scetticismo sul valore "dei credenti religiosi che vivono secondo fedi che includono eventi miracolosi. Sembra che la loro realtà sia falsa", sogghigna.
Langdon ride e dice che quelle credenze non sono più false "di quella di un crittografo matematico che crede nel numero immaginario 'i' perché la aiuta a decifrare i codici".
Per quelli di noi che non sono inclini alla matematica , la battuta di Langdon è stata un po' sconcertante. Di cosa diavolo sta parlando quando dice che un numero è immaginario? Come potrebbe essere?
A quanto pare, però, un numero immaginario - fondamentalmente, un numero che, al quadrato, risulta in un numero negativo - è davvero una cosa in matematica, scoperta per la prima volta nel 1400 e 1500 come un modo per risolvere alcune equazioni sconvolgenti. Sebbene inizialmente pensati come una sorta di trucco da salotto, nei secoli successivi sono stati visti come uno strumento per concettualizzare il mondo in modi complessi e oggi sono utili in campi che vanno dall'ingegneria elettrica alla meccanica quantistica.
"Abbiamo inventato i numeri immaginari per alcune delle stesse ragioni per cui abbiamo inventato i numeri negativi", spiega Cristopher Moore . È un fisico presso il Santa Fe Institute , un istituto di ricerca indipendente nel New Mexico, e coautore, con Stephan Mertens, del libro del 2011 " The Nature of Computation ".
"Inizia con l'aritmetica ordinaria", continua Moore. "Quanto fa due meno sette? Se non hai mai sentito parlare di numeri negativi, non ha senso. Non c'è risposta. Non puoi avere cinque mele negative, giusto? Ma pensala in questo modo. Potresti dovermi cinque mele, o cinque dollari. Una volta che le persone hanno iniziato a fare contabilità e contabilità, avevamo bisogno di quel concetto". Allo stesso modo, oggi abbiamo tutti familiarità con l'idea che se scriviamo grossi assegni per pagare le cose, ma non abbiamo abbastanza soldi per coprirli, potremmo avere un saldo negativo nei nostri conti bancari.
Il pensiero creativo fa molta strada
Un altro modo di guardare i numeri negativi - e questo tornerà utile in seguito - è pensare di passeggiare in un quartiere cittadino, dice Moore. Se fai una svolta sbagliata e nella direzione opposta rispetto alla nostra destinazione - diciamo, cinque isolati a sud, quando avresti dovuto andare a nord - potresti pensare di camminare per cinque isolati negativi a nord.
"Inventando numeri negativi, espande il tuo universo matematico e ti consente di parlare di cose che prima erano difficili", afferma Moore.
I numeri immaginari e i numeri complessi, ovvero i numeri che includono una componente immaginaria, sono un altro esempio di questo tipo di pensiero creativo. Come spiega Moore: "Se ti chiedo, qual è la radice quadrata di nove, è facile, giusto? La risposta è tre, anche se potrebbe anche essere negativo tre", poiché moltiplicando due negativi si ottiene un positivo .
Ma qual è la radice quadrata di uno negativo? C'è un numero, moltiplicato per se stesso, che ti dà uno negativo? "A un certo livello, non esiste un numero simile", afferma Moore.
Ma i matematici del Rinascimento hanno escogitato un modo intelligente per aggirare questo problema. "Prima che inventassimo i numeri negativi non esisteva un numero simile a due meno sette", continua Moore. "Quindi forse dovremmo inventare un numero che sia radice quadrata di uno negativo. Diamogli un nome. i. "
Una volta che hanno escogitato il concetto di numero immaginario, i matematici hanno scoperto che potevano fare cose davvero interessanti con esso. Ricorda che moltiplicare un numero positivo per un numero negativo equivale a un negativo, ma moltiplicare due negativi l'uno per l'altro equivale a un positivo. Ma cosa succede quando inizi a moltiplicare i per sette e poi di nuovo per i ? Perché i volte i è negativo uno, la risposta è negativa sette. Ma se si moltiplica per sette volte i tempi i tempi i tempi io , improvvisamente si ottiene positivi sette. "Si annullano a vicenda", osserva Moore.
Ora pensaci. Hai preso un numero immaginario, l'hai inserito in un'equazione più volte e sei finito con un numero reale che usi comunemente nel mondo reale.
I numeri immaginari sono punti su un piano
Solo poche centinaia di anni dopo, all'inizio del 1800, i matematici scoprirono un altro modo di intendere i numeri immaginari, considerandoli come punti su un piano, spiega Mark Levi . È professore e capo del dipartimento di matematica della Penn State University e autore del libro del 2012 "Why Cats Land on Their Feet: And 76 Other Physical Paradoxs and Puzzles".
Quando pensiamo ai numeri come punti su una linea, e poi aggiungiamo una seconda dimensione, "i punti su quel piano sono i numeri immaginari", dice.
Immagina una linea dei numeri. Quando pensi a un numero negativo, è a 180 gradi di distanza dai numeri positivi sulla linea. "Quando moltiplichi due numeri negativi, aggiungi i loro angoli, 180 gradi più 180 gradi, e ottieni 360 gradi. Ecco perché è positivo", spiega Levi.
Ma non puoi mettere la radice quadrata di uno negativo ovunque sull'asse X. Semplicemente non funziona. Tuttavia, se crei un asse Y perpendicolare alla X, ora hai un posto dove metterlo.
E mentre i numeri immaginari sembrano solo un mucchio di abbagliamenti matematici, in realtà sono molto utili per alcuni calcoli importanti nel mondo tecnologico moderno, come calcolare il flusso d'aria sopra un'ala di aeroplano o capire il consumo di energia dalla resistenza combinata con l'oscillazione in un sistema elettrico. E l'immaginario Robert Langdon non ci stava prendendo in giro quando ha detto che sono usati anche nella crittografia.
I numeri complessi con componenti immaginarie sono utili anche nella fisica teorica, spiega Rolando Somma , un fisico che lavora negli algoritmi di calcolo quantistico al Los Alamos National Laboratory.
"A causa della loro relazione con le funzioni trigonometriche, sono utili per descrivere, ad esempio, funzioni periodiche", afferma Somma via e-mail. "Questi si presentano come soluzioni delle equazioni delle onde, quindi usiamo numeri complessi per descrivere varie onde, come un'onda elettromagnetica. Quindi, come in matematica, il calcolo complesso in fisica è uno strumento estremamente utile per semplificare i calcoli".
I numeri complessi hanno anche un ruolo nella meccanica quantistica, una teoria che descrive il comportamento della natura alla scala degli atomi e delle particelle subatomiche.
"Nella meccanica quantistica 'i' appare esplicitamente nell'equazione di Schrödinger ", spiega Somma. "Pertanto, i numeri complessi sembrano avere un ruolo più fondamentale nella meccanica quantistica piuttosto che fungere solo da utile strumento di calcolo".
"Lo stato di un sistema quantistico è descritto dalla sua funzione d'onda", continua. "Come soluzione all'equazione di Schrodinger, questa funzione d'onda è una sovrapposizione di determinati stati e i numeri che appaiono nella sovrapposizione sono complessi. I fenomeni di interferenza nella fisica quantistica, ad esempio, possono essere facilmente descritti usando numeri complessi".
Ora è interessante
I numeri immaginari sono menzionati anche nel romanzo di Thomas Pynchon del 2012 " Against the Day ".
