Aby geometrycznie opisać niezmienny trywektor w wymiarze 8
$\newcommand\Alt{\bigwedge\nolimits}$Pozwolić $G=\operatorname{SL}(2,\Bbb C)$, i pozwól $R$ oznaczają naturalną dwuwymiarową reprezentację $G$ w ${\Bbb C}^2$. Dla liczby całkowitej$p\ge 0$, pisać $R_p=S^p R$; następnie$R_1=R$ i $\dim R_p=p+1$.
Korzystając z tabeli 5 w książce Onishchika i Vinberga, obliczyłem tę reprezentację $$ R_2\otimes\Alt^2 R_4 $$zawiera trywialne przedstawienie z wielokrotnością jeden. Użyłem stołu jako czarnego pudełka.
Pytanie. Pozwolić$V\subset R_2\otimes\Alt^2 R_4$oznaczają odpowiednią podprzestrzeń jednowymiarową. Jak można to opisać$V$jako podprzestrzeń geometrycznie ?
Motywacja: chcę rozważyć$\operatorname{PGL}(2,k)$-fixed trywektor $$v\in V\subset R_2\otimes\Alt^2 R_4\subset \Alt^3(R_2\oplus R_4)$$ 8-wymiarowej przestrzeni wektorowej $W=R_2\oplus R_4$ nad polem $k$ charakterystyczne 0, a następnie przekręcić to wszystko za pomocą Galois-cocycle of $\operatorname{PGL}(2,k)$. W tym celu potrzebuję geometrycznego opisu$V$.
Zapraszam do dodawania / edytowania tagów!
Odpowiedzi
Oto kolejna bardzo ładna (ale wciąż algebraiczna) interpretacja, która wyjaśnia część geometrii: Przypomnij sobie $\operatorname{SL}(2,\mathbb{C})$ ma $2$-do-$1$ reprezentacja w $\operatorname{SL}(3,\mathbb{C})$ tak, że algebra Liego dzieli się jako $$ {\frak{sl}}(3,\mathbb{C}) = {\frak{sl}}(2,\mathbb{C})\oplus {\frak{m}} $$ gdzie ${\frak{m}}$ jest ($5$-wymiarowe) dopełnienie ortogonalne ${\frak{sl}}(2,\mathbb{C})$ używając formularza Zabijanie ${\frak{sl}}(3,\mathbb{C})$. Zwróć na to uwagę${\frak{m}}$ jest nieredukowalna ${\frak{sl}}(2,\mathbb{C})$-module i że każdy element $x\in {\frak{sl}}(3,\mathbb{C})$ można zapisać wyłącznie jako $x = x_0 + x_1$ z $x_0\in {\frak{sl}}(2,\mathbb{C})$ i $x_1\in{\frak{m}}$. Zwróć też uwagę na to$[{\frak{m}},{\frak{m}}]= {\frak{sl}}(2,\mathbb{C})$.
Określa pożądane parowanie ${\frak{sl}}(2,\mathbb{C})\times \bigwedge\nolimits^2({\frak{m}})\to\mathbb{C}$: Wyślij $(x_0,y_1,z_1)$ do $\operatorname{tr}(x_0[y_1,z_1])$. Oczywiście to sprawia, że$\operatorname{SL}(2,\mathbb{C})$-niezróżnicowanie parowania oczywiste.
Aby uzyskać czysto geometryczną konstrukcję, zobacz poniżej, po następujących rozważaniach algebraicznych.
Istnieje izomorfizm Wrońskianowski, który jako szczególny przypadek mówi, że druga zewnętrzna potęga $R_4$ jest izometryczny do drugiej symetrycznej potęgi $R_3$. Tak więc omawianym niezmiennikiem jest$I(Q,C)$, wspólny niezmiennik w binarnej kwadracie $Q$ i binarny sześcienny $C$, który jest liniowy w $Q$ i kwadratowe w $C$. Jest to rzeczywiście unikalne w skali i jest podane w klasycznej notacji symbolicznej (patrz np. Grace i Young) przez$$ (ab)(ac)(bc)^2 $$ gdzie $Q=a_{x}^{2}$ i $C=b_{x}^{3}=c_{x}^{3}$.
Inną konstrukcją jest rozpoczęcie od dyskryminatora binarnego i spolaryzowanie go w celu uzyskania postaci dwuliniowej (jedynej niezmiennej na $R_2$) i zastosuj tę dwuliniową formę do $Q$ i Hesji z $C$.
Jeśli ktoś nie chce używać izomorfizmu Wrońskiego, to byłby niezmiennik $J(Q,F_1,F_2)$, trójliniowe w układzie kwadratowym $Q$ i dwie dwójkowe kwartyki $F_1,F_2$. Satysfakcjonowałoby to antysymetrię$J(Q,F_2,F_1)=-J(Q,F_1,F_2)$ i zostałby podany w formie symbolicznej przez $$ (ab)(ac)(bc)^3 $$ gdzie teraz $Q=a_{x}^{2}$, $F_1=b_{x}^{4}$, i $F_2=c_{x}^{4}$.
Konstrukcja geometryczna:
Rozważać $\mathbb{P}^1$ osadzone przez Veronese jako stożek $\mathscr{C}$ w $\mathbb{P}^2$. Binarny kwadrat$Q$ odpowiada punktowi w $\mathbb{P}^2$. Binarny sześcienny$C$ odpowiada dzielnikowi lub nieuporządkowanej kolekcji trzech punktów $\{P_1,P_2,P_3\}$ na $\mathscr{C}$. Pozwolić$T_1, T_2, T_3$ być stycznymi do stożka w $P_1,P_2,P_3$. Rozważ punkty przecięcia$T_1\cap P_2P_3$, $T_2\cap P_1P_3$, $T_3\cap P_1P_2$. Są wyrównane i tym samym definiują linię$L$. Zniknięcie niezmiennika$I(Q,C)$ wykrywa sytuację, w której punkt $Q$ jest na linii $L$. Nie pamiętam, czy wspomniany przeze mnie wynik współliniowości ma nazwę, ale jest to zdegenerowany przypadek twierdzenia Pascala.