Algebra liniowa - Wymiar zagadnienia podprzestrzennego
Znalazłem to pytanie na slajdzie z wykładem na temat algebry liniowej GRE na teście z matematyki i nie mogłem go rozgryźć.
Przypuszczać $V$jest rzeczywistą przestrzenią wektorową o skończonym wymiarze n. Wywołaj zbiór macierzy z$V$ w siebie $M(V)$.
Pozwolić$T∈ M(V)$. Rozważ dwie podprzestrzenie$U=\{X∈M(V);TX = XT\}$ i $W=\{TX−XT; X∈M(V)\}$.
Które z poniższych stwierdzeń musi być PRAWDZIWE?
I. Jeśli $V$ ma bazę zawierającą tylko wektory własne $T$ następnie $U=M(V)$.
II.$\dim(U) +\dim(W) =n^2$.
III.$\dim(U)< n$.
Myślę, że II musi być fałszywe, ale nie mogę zrozumieć prawdy I lub III. Każda pomoc jest mile widziana!
Odpowiedzi
$\DeclareMathOperator{\im}{im}$ $\DeclareMathOperator{\dim}{dim}$
1 niekoniecznie jest prawdą. Do wzięcia$n = 2$, i pozwól $T(e_1) = e_1$ i $T(e_2) = 2e_2$. Pozwolić$X$ Najlepsza $X(e_1) = e_1$ i $X(e_2) = e_1 + e_2$. Następnie$TX(e_2) = T(e_1 + e_2) = e_1 + 2e_2$, ale $XT(e_2) = X(2 e_2) = 2e_1 + 2e_2$. Następnie$TX \neq XT$.
2 jest prawdą. Rozważ mapę liniową$f: M(V) \to M(V)$ wysyłanie $X$ do $TX - XT$. Wtedy możemy pisać$W = \im(f)$ i $U = \ker(f)$. Następnie przez twierdzenie o nieważności rzędu$\dim(U) + \dim(W) = \dim(M(V)) = n^2$.
3 niekoniecznie jest prawdą. Do wzięcia$n > 1$ i $T =$tożsamość. Następnie$U = M(V)$ więc $\dim(U) = \dim(M(V)) = n^2 > n$.