Biorąc pod uwagę charakterystyczny (i minimalny) wielomian $T:V\to V$, ile różnych form Jordana jest możliwych?

Question

Rozwiązałem kilka rutynowych problemów związanych z określeniem możliwych form Jordana operatora liniowego, biorąc pod uwagę charakterystyczne i minimalne wielomiany, i przyszła mi do głowy interesująca myśl! Wszyscy entuzjaści kombinatoryki powinni się przyjrzeć.

Czy istnieje sposób, aby skomentować liczbę form Jordana, biorąc pod uwagę charakterystyczny wielomian $T:V\to V$?

Powiedzmy $$p_T(t) = \prod_{i=1}^k(t-\lambda_i)^{n_i}$$

jest charakterystycznym wielomianem $T:V\to V$. Czy istnieje rozwiązanie w postaci zamkniętej opisujące liczbę form Jordana odpowiadających temu wielomianowi? Dwie formy Jordana są uważane za takie same, jeśli składają się z tych samych bloków Jordana (dowolnej permutacji) .

A co, jeśli otrzymam również minimalny wielomian$T$, a mianowicie $m_T(t)?$ $$m_T(t) = \prod_{i=1}^k(t-\lambda_i)^{m_i}$$ gdzie $1\leq m_i\leq n_i$ dla wszystkich $i=1,2,...,k$

Odpowiedź zdecydowanie maleje, ponieważ nałożyliśmy więcej ograniczeń, ale o ile? Jaka jest dokładnie liczba?

Myślę, że następujące pomysły będą bardzo ważne w określeniu odpowiedzi, chociaż nie byłem w stanie wymyślić czegoś konkretnego za ich pomocą:

• Suma rozmiarów wszystkich bloków Jordan odpowiadających $\lambda$ jest równa wielokrotności $\lambda$ w $p_T(t)$.
• Wielkość największego bloku Jordana odpowiadająca $\lambda$ jest równa wielokrotności $\lambda$ w $m_T(t)$.

Dziękuję i czekam na interesującą dyskusję!

Answer 1

Nie można powiedzieć nic więcej niż to, co zaobserwowałeś na końcu. Zbiór dodatnich liczb całkowitych, których suma wynosi$n$nazywany jest partycja z$n$, a liczba takich partycji jest powszechnie zapisywana $p(n)$. A więc normalna postać Jordana z charakterystycznym wielomianem$\prod_{i=1}^k(t-\lambda_i)^{n_i}$ po prostu składa się z partycji $n_i$ dla każdego $i$więc jest ich liczba $$\prod_{i=1}^kp(n_i).$$ Jednak nie jest znany zamknięty formularz dla $p(n)$ (iw przypadku $k=1$, twój problem jest równoważny ze znalezieniem zamkniętego formularza dla $p(n)$).

Podobnie liczba partycji $n$ na części tak, aby była największa $m$ można zapisać jako $p_m(n)$, więc jeśli dodatkowo wymagasz, aby minimalny wielomian był $\prod_{i=1}^k(t-\lambda_i)^{m_i}$ wtedy liczba takich normalnych form Jordana wynosi $$\prod_{i=1}^kp_{m_i}(n_i).$$ Ponownie jednak nie jest znana zamknięta forma dla $p_m(n)$.