Charakterystyka połączonych lokalnie połączonych zestawów
$T_1$ przestrzeń $X$ jest zarówno połączony, jak i połączony lokalnie iff dla każdej otwartej pokrywy $\{U_\alpha\}$ z $X$ i parę punktów $x_1,x_2$ z $X$istnieje skończona sekwencja $\alpha_1,\cdots,\alpha_n$ i sekwencję połączonych otwartych podzbiorów $V_1,\cdots,V_n$ takie że
- $x_1\in V_1$, $x_2\in V_n$
- $V_i\cap V_j\neq\varnothing$ iff $|i-j|\leq1$
- $V_i\subseteq U_{\alpha_i}$ dla wszystkich $i=1,\cdots,n$
Teraz dla połączonych $X$, mamy to dla $x_1,x_2$ z $X$ i otwórz pokrywę $\{U_\alpha\}$, możemy uzyskać sekwencję $U_{\alpha_1},\cdots,U_{\alpha_n}$ z okładki takie że
- $x_1\in U_{\alpha_1}$, $x_2\in U_{\alpha_n}$
- $U_{\alpha_i}\cap U_{\alpha_j}\neq\varnothing$ iff $|i-j|\leq1$
Także jako $X$ jest podłączony lokalnie, każdy element otwartego zestawu jest otwarty.
Teraz wierzę, że $V_i$ wymagane są składniki $U_{\alpha_i}$, odpowiednio dobrane tak, aby Warunki $1$ i $2$trzymać. To automatycznie zadbałoby o stan$3$. Jednak nie mogłem tego pokazać. Każda pomoc będzie mile widziana!
Odpowiedzi
Pozwolić $X$spełniają warunek „otwartej pokrywy”. Następnie$X$ jest połączony, ponieważ dowolne dwa $x_1, x_2 \in X$ są zawarte w połączonym podzbiorze $X$ (weź połączenie $V_i$). Pokazać że$X$ jest podłączony lokalnie, niech $x_1 \in X$ i $U_1$ być otwartym sąsiedztwem $x_1$. Musimy znaleźć połączone, otwarte sąsiedztwo$V_1$ z $x_1$ takie że $V_1 \subset U_1$. Zbiór$U = X \setminus \{x_1\}$ jest otwarta od $X$ jest $T_1$(to jedyne miejsce, w którym potrzebujemy$T_1$-wymaganie). W związku z tym$\mathcal U = \{U_1, U\}$ jest otwartą okładką $X$. Wybierz dowolną$x_2 \in X$ (Jeśli chcesz $x_2 = x_1$). Istnieje sekwencja połączonych otwartych$V_i$jak w twoim stanie. Mamy$x_1 \in V_1$. Ponadto,$V_1$ jest zawarty w jakimś członku $\mathcal U$. Od$x_1 \in V_1$, to niemożliwe $V_1 \subset U$. A zatem$V_1 \subset U_1$.
Następnie udowodnimy, że jest odwrotnie. Zacznijmy od tego
Lemat: Niech $M_1,\ldots, M_r$ być podzbiorami $X$ takie że $M_i \cap M_{i+1} \ne \emptyset$ dla $i =1,\ldots,r-1$. Następnie istnieje podzbiór$\{k_1,\ldots,k_n\} \subset \{1,\ldots,r\}$ takie że $1 = k_1 < k_2 <\ldots k_{n-1} < k_n=r$ i $M_{k_i} \cap M_{k_j} \ne \emptyset$ iff $\lvert i - j \rvert \le 1$.
Dowód: zadzwoń $\{k_1,\ldots,k_n\} \subset \{1,\ldots,r\}$ miło, jeśli$1 = k_1 < k_2 <\ldots k_{n-1} < k_n=r$ i $M_{k_i} \cap M_{k_{i+1}} \ne \emptyset$ dla $i = 1,\ldots,n-1$. Wyraźnie$\{1,\ldots,r\}$jest miłe. Istnieje ładne$\{k_1,\ldots,k_n\}$z minimalnym$n$ (możliwie $n = r$). Założyć$M_{k_i} \cap M_{k_j} \ne \emptyset$ dla jakiejś pary $(i,j)$ takie że $\lvert i - j \rvert > 1$. Wlog możemy założyć$i < j$. Następnie$\{k'_1 = k_1,\ldots,k'_i = k_i,k'_{i+1} = k_j,\ldots,k'_{n+1-(j-i)} = k_n\}$ jest miły z $n+1-(j-i) < n$, sprzeczność.
Lemat pokazuje, że w „stanie otwartej okładki” możemy 2. zastąpić stanem (tylko pozornie) słabszym $$V_i \cap V_{i+1} \ne \emptyset, i =1,\ldots,n-1 .$$ Pozwolić $\mathcal U$ być otwartą przykrywką $X$. Dla$x_1,x_2 \in X$ definiować $x_1 \sim x_2$ jeśli istnieje skończona sekwencja połączonych otwartych podzbiorów $V_1,\cdots,V_n$ takie że
- Każdy $V_i$ jest zawarty w niektórych $U_{\alpha_i} \in \mathcal U$.
- $x_1\in V_1$, $x_2\in V_n$
- $V_i\cap V_{i+1} \neq\emptyset$ dla $i = 1,\ldots,n-1$
$\sim$jest relacją równoważności. Refleksyjność wynika z lokalnego połączenia (każdy$x$ jest zawarty w niektórych $U \in \mathcal U$, teraz weź $n=1$ i $V_1$ wszelkie podłączone otwarte, takie że $x \in V_1 \subset U$). Symetria i przechodniość są oczywiste.
Klasy równoważności $[x_1]$ z szacunkiem do $\sim $ są otwarte: Jeśli $x_2 \in [x_1]$, znajdujemy sekwencję $V_i$jak powyżej. Ale potem oczywiście$x_2 \in V_n \subset [x_1]$. Stąd klasy równoważności tworzą podział$X$w parami rozłączne otwarte zbiory. Od$X$jest podłączony, może istnieć tylko jedna klasa równoważności. Zatem dowolne dwa$x_1,x_2 \in X$ są równoważne, co kończy dowód.
W tej odpowiedzi podaję łańcuchową charakterystykę powiązań. Przeczytaj to najpierw. Nie mam opcji „iff$|i-j| \le 1$”, ale można to osiągnąć za pomocą $T_1$-ness of $X$, sprawdź dowód. Osobiście nie lubię mieszać aksjomatów separacji w ten sposób.
Gdyby $X$ jest podłączony i połączony lokalnie, niech $\{U_{\alpha \in A}\}$ być otwartą przykrywką $X$. Następnie dla każdego$x \in X$ mamy $\alpha_x$ i otwórz połączony $V_x$ takie że $x \in V_x \subseteq U_{\alpha_x}$. Następnie zastosuj charakterystykę łańcuchową powiązania$X$ do $\{V_x: x \in X\}$ i pokazaliśmy jeden kierunek, istnienie tej osłony przed połączeniami i lokalnymi połączeniami.
Jak zobaczyć dowód $X$podłączony i połączony lokalnie ze stanu „zmodyfikowanego łańcucha”? Połączenie jest łatwe, ponieważ bezpośrednio nakładamy warunek na okładkę$\{U,V\}$ gdy $U,V$ jest odłączeniem $X$.
Co więcej, niech $O$ bądź otwarty, $p \in O$ i pozwól $C$ być składnikiem $p$ w $O$. Zastosuj fakt do otwartej okładki$\{O,X\setminus \{p\}\}$ z $X$. Dla$y \in C$ i $p$ znajdujemy otwarte i połączone $V_1,\ldots V_n$ takie że $p \in V_1$, $q \in V_n$ i $V_i \subseteq O$ lub $V_i \subseteq X\setminus \{p\}$ dla wszystkich $i$ i sąsiadujące $V_i$krzyżować. W rzeczywistości „łańcuch” musi mieć długość$2$ jeśli się nad tym zastanowić (!), to tak $n=2$. Ale wtedy$V_1 \cup V_2$ jest połączony i podzbiorem $O$ i to pokazuje $q$ jest punktem wewnętrznym $C$ i $X$ jest podłączony lokalnie.