Co dokładnie rozumiemy przez „gęstość” w funkcji gęstości prawdopodobieństwa (PDF)? [duplikować]
Ogólnie gęstość to masa / objętość. Jest również używany do czegoś takiego jak gęstość zaludnienia, czyli populacja / powierzchnia jednostki.
Jakie znaczenie ma gęstość słów w formacie PDF?
Odpowiedzi
Krótka odpowiedź: Podobnie jak w przypadku gęstości fizycznej, gęstość prawdopodobieństwa to prawdopodobieństwo / objętość.
Długa odpowiedź: w przypadku obiektów jednorodnych gęstość można zdefiniować, jak powiedziałeś,$m/V$, z $m$ oznaczające masę i $V$jego objętość. Jeśli jednak twój obiekt nie jest jednorodny, gęstość jest funkcją współrzędnych przestrzeni w obiekcie:$$ \rho(x, y, z) = \lim_{\Delta V \rightarrow 0} \frac{\Delta m(x, y, z)}{\Delta V} $$tj. masa wewnątrz nieskończenie małej objętości wokół podanych współrzędnych podzielona przez tę nieskończenie małą objętość. Pomyśl o puddingu śliwkowym: gęstość rodzynek różni się od gęstości ciasta.
Prawdopodobieństwo jest w zasadzie takie samo: $$ f(x, y, z) = \lim_{\Delta V \rightarrow 0} \frac{\Delta F(x, y, z)}{\Delta V} $$ gdzie $f$ jest funkcją gęstości prawdopodobieństwa (PDF) i $F$ skumulowana funkcja gęstości (CDF), więc to $\Delta F$ jest nieskończenie małym prawdopodobieństwem w nieskończenie małej objętości $\Delta V$ w pobliżu współrzędnych $(x, y, z)$ w przestrzeni, nad którą $F$ definiuje.
Teraz tak się składa, że żyjemy w fizycznym świecie z trzema wymiarami przestrzennymi, ale nie jesteśmy ograniczeni do definiowania prawdopodobieństw tuż nad przestrzenią. W praktyce znacznie częściej pracuje się z prawdopodobieństwami zdefiniowanymi w jednym wymiarze, np.$x$. Wtedy powyższe upraszcza się do$$ f(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta F(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{F(x+\Delta x) - F(x)}{\Delta x} $$ Ale oczywiście w zależności od modelu prawdopodobieństwa $F$ i $f$ można zdefiniować w dowolnej liczbie wymiarów.
Możesz zobaczyć pochodną Radona-Nikodyma jako formalną definicję bardziej ogólnego pojęcia gęstości.
Jest to stosunek dwóch miar (które mają właściwość ekstensywną , są addytywne ) zdefiniowanych na tej samej przestrzeni .
$$\rho = \frac{d \nu}{d \mu}$$
Ten stosunek jest miarą jednej ilości $\nu$ zestawu $S$ wyrażane przez całkę w stosunku do drugiej miary $\mu$ $$\nu(S) = \int_S \rho d \mu$$
Zwykle mianownik $\mu$to miara oparta na miarach metrycznych , takich jak odległość, powierzchnia lub objętość. Jest to typowe dla gęstości w fizyce, takich jak gęstość masy, gęstość energii, gęstość ładunku, gęstość cząstek.
Przy gęstości prawdopodobieństwa mianownik może być bardziej ogólnie innym typem zmiennej, która nie jest związana z przestrzenią fizyczną . Jednak często jest podobnie w stosowaniu miary euklidesowej lub miary Lebesgue'a . Po prostu zmienna nie musi być współrzędną w przestrzeni fizycznej.
Dla pojedynczej ciągłej zmiennej losowej wartość pliku PDF w punkcie $t$podaje gęstość masy prawdopodobieństwa , mierzoną w jednostkach masy prawdopodobieństwa na jednostkę długości , w punkcie$t$na prawdziwej linii. Gęstość masy prawdopodobieństwa może być różna w różnych punktach na rzeczywistej linii; nie jest tak łatwe, jak przepisywanie masy / objętości na lekcjach fizyki w szkołach średnich.