Co to znaczy zrównywać współczynniki podobnych terminów przy rozwiązywaniu A i B w ułamkach cząstkowych?

Question

Próbuję przejść przez rozwiązanie ułamków częściowych w książce Cambridge na rok 10. Jest to koncepcja, którą wprowadzają wcześnie dla uczniów, którzy chcą rzucić sobie wyzwanie, a wyjaśnienie jest dość lekkie.

Na przykład: 7 / (x + 2) (2x-3) = A / 2x-3 + B / x + 2. Rozumiem, jak to osiągnąć, aż osiągnę 7 = x (A + 2B) + 2A − 3B. Stamtąd przeczytałem, że muszę zrobić coś, co nazywa się „zrównaniem współczynników. Współczynniki w pobliżu podobnych wyrazów powinny być równe, więc otrzymujemy następujący układ: A + 2B = 0 2A − 3B = 7.

Ale nie rozumiem DLACZEGO ani jak to jest ważne, że ustawiamy te części równania na te wartości. Dlaczego na przykład nie A + 2B = 7 2A − 3B = 0. Próbowałem spojrzeć na YouTube i zapytać znajomych, ale nie mogę się nad tym zastanowić.

Potrafię to zrobić i mogę rozwiązać A i B za pomocą tej metody. Ale naprawdę staram się zrozumieć, co robię na tym etapie procesu. Fraza, która pojawia się, kiedy się temu przyjrzeć, brzmi: „możemy zrównać współczynniki podobnych terminów”. Na przykład na stronie wikipedii o rozkładzie frakcji jest napisane „Zrównanie współczynników x i stałych (względem x) współczynników obu stron tego równania…”. Drugi przykład: mówi „Współczynniki w pobliżu podobnych terminów powinny być równe, więc otrzymujemy następujący system:” na stronie emathhelp, kiedy wprowadzam równanie 7 / (x + 2) (2x-3).

Answer 1

Myślę, że jesteś trochę zdezorientowany co do etapów tego problemu. Zauważ, że po pomnożeniu obu stron przez mianownik musisz spróbować rozwiązać wynikowe równanie, w tym przypadku$$7 = x(A+2B) + 2A - 3B.$$ Podobne wyrazy są współczynnikami identycznych potęg$x$. Obseruj to$7 = 0x + 7$. Czy widzisz teraz podobieństwo? Miał$(A+2B)$było nic innego $0$, miałbyś niezerową $ax$termin po lewej stronie powyższego równania. Ta sama logika dotyczy$(2A-3B)$.

Więc naprawdę kończysz z $$A+2B = 0 \\ 2A - 3B = 7$$ co, rozwiązane jednocześnie, daje $A= 2$, $B = -1$.

Answer 2

Załóżmy, że pracujesz z

$$ax+b=3x+2.$$

Mamy na myśli to, że dotyczy to każdego $x$. Więc w szczególności moglibyśmy pisać

$$x=0\to b=2,\\x=1\to a+b=5,\\ x=-1\to -a+b=-1,\\ x=2\to 2a+b=8,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ x=5000\to 5000a+b=1502,\\\cdots$$

Jest to układ dwóch niewiadomych i nieskończenie wielu równań. Ale okazuje się, że jeśli rozwiążesz minimalną liczbę równań (przy pierwszych dwóch,$a=3, b=2$), rozwiązanie jest poprawne dla wszystkich równań, ponieważ wyrażenia symboliczne są w pełni równoważne.

To samo dotyczy racjonalnych ułamków lub jakiejkolwiek identyfikacji.