Czy czasoprzestrzeń może być zakrzywiona nawet przy braku jakiegokolwiek źródła? [duplikować]

Question

Równanie Einsteina bez żadnego źródła (tj. $T_{ab}=0$) $$R_{ab}-\frac{1}{2}g_{ab}R=0$$ ma rozwiązanie $$R_{ab}=0.$$

Ale myślę $R_{ab}=0$nie nie oznacza, że wszystkie elementy składowe tensora krzywizny Riemanna-Christoffela$R^c_{dab}$wynosić zero (czy to prawda?). Czy z tego mogę wywnioskować, że czasoprzestrzeń może być zakrzywiona nawet przy braku jakiegokolwiek źródła?

Answer 1

To, o co pytasz, jest określane jako próżniowe rozwiązanie równań pola. Nie oznacza to, że nigdzie nie ma masy , a raczej, że rozważamy obszar naszej zakrzywionej czasoprzestrzeni, w którym nie ma masy.

Na przykład rozwiązanie Schwarzschilda jest „rozwiązaniem próżniowym”, ponieważ rozważamy obszar poza masą centralną, w którym nie ma materii, ale w którym krzywizna jest niezerowa.

Masz rację, że zniknięcie składowych tensora Ricciego nie oznacza zaniku składników pełnego tensora Riemanna.$R_{\mu\nu}=0$ jest rozwiązaniem próżniowym, ${R^\alpha}_{\beta\mu\nu}=0$ jest płaską czasoprzestrzenią.

Answer 2

Oto prosta odpowiedź:

Postrzegałbym to w tym samym świetle, co następujące pytanie:

Robi

$$ {\bf \nabla \cdot E} = \frac{\rho}{\epsilon_0} $$

implikuje zerowe pole elektryczne w regionie bez gęstości ładunku?

Na co odpowiedź brzmi wyraźnie „nie”.

I na przykład: astronauci na Księżycu. Byli tam w całkiem niezłej próżni, zrzucając pióra i młoty, które potem ruszyły jak geodezja.

Answer 3

Masz rację. $R_{ab}=0$ nie oznacza $R^{a}_{bcd}=0$. Dla jednej rzeczy,$R_{ab}$ ma 10 komponentów (w $n=4$ wymiary), podczas gdy $R^{a}_{bcd}$ ma $20$składniki. Najprostszym przykładem, jaki przychodzi mi do głowy, jest rozwiązanie Schwarzschilda$R_{ab}=0$ wszędzie, ale $R^{a}_{bcd}\neq0$. Jeśli pozwolisz na włączenie stałej kosmologicznej, to metryka de Sittera jest przykładem pustego rozwiązania z nietrywialną krzywizną czasoprzestrzeni. Jak wskazano tutaj

https://physics.stackexchange.com/a/105336/96768

Czasoprzestrzeń zawierająca fale grawitacyjne jest pusta, ale z nietrywialnym tensorem Riemanna.

Answer 4

Zgadza się. Ale to nie znaczy, że krzywizna jest znikąd. Równanie pola opisuje krzywiznę (lokalnie) w punkcie tylko od$T_{\mu \nu}$w tym samym punkcie (ponieważ wszystko jest zbudowane w rozmaitości różniczkowej, a przestrzenie styczne w każdym punkcie nie są ze sobą powiązane). Gdyby$T_{\mu \nu}$ wynosi zero w punkcie, a następnie otrzymujesz rozwiązanie próżniowe.