Czy Dirac $\delta$-funkcja koniecznie symetryczna?

Question

Dirac $\delta$-funkcja jest definiowana jako rozkład spełniający te ograniczenia:

$$ \delta (x-x') = 0 \quad\text{if}\quad x \neq x' \quad\quad\text{and}\quad\quad \delta (x-x') = \infty \quad\text{if}\quad x = x'$$

$$\int_{-\infty} ^{+\infty} \delta(x-x')\, dx = 1 $$

Niektórzy autorzy postawili również inne ograniczenie, że Dirac $\delta$-funkcja jest symetryczna, tj. $\delta(x)=\delta(-x)$

Teraz moje pytanie brzmi, czy musimy oddzielnie nakładać ograniczenie, jakim jest Dirac $\delta$-funkcja jest symetryczna czy automatycznie pochodzi z innych ograniczeń?

Cóż, aby jasno zilustrować moje zapytanie, zdefiniuję taką funkcję: $$ ξ(t)=\lim_{\Delta\rightarrow0^+} \frac{\frac{1}{3}{\rm rect}\left(\frac{2x}{\Delta}+\frac{1}{2}\right)+\frac{2}{3}{\rm rect}\left(\frac{2x}{\Delta}-\frac{1}{2}\right)}{\Delta} $$ gdzie ${\rm rect}(x)$ definiuje się jako: $$ {\rm rect}(x)= 1 \quad\text{if}\quad |x| < \frac{1}{2} \quad\quad\text{and}\quad\quad {\rm rect}(x)= 0 \quad\text{elsewhere}. $$ $ξ(t)$ z pewnością nie jest symetryczny, ale spełnia następujące warunki, $$ ξ(t)= 0 \quad\text{if}\quad t \neq 0 \quad\quad\text{and}\quad\quad ξ(t)= \infty \quad\text{if}\quad t = 0$$ $$\int_{-\infty} ^{+\infty} ξ(t)\,dt = 1 $$

Teraz moje pytanie brzmi: czy możemy zdefiniować $ξ(t)$ jak funkcja Dirac Delta czy nie?

Answer 1

„Funkcja delta” nie jest funkcją, ale rozkładem. Dystrybucja to recepta na przypisanie numeru do funkcji testowej. Ten rozkład może, ale nie musi, mieć wartości funkcji w zwykłym sensie. W przypadku rozkładu delta nie ma wartości funkcji.

Więc oświadczenie jak

$$ \delta(x) = \delta(-x) \quad\text{for all }x \tag{*} $$ co oznacza „wartość $\delta$ w $x$ równa się wartości $\delta$ w $-x$”jest bez znaczenia / nieważne.

Ale oświadczenie $$ \int dx~ \delta(x) f(x) = \int dx~\delta(-x) f(x) \quad \text{for all functions }f \tag{**} $$ mogą być ważne.

Możesz łatwo sprawdzić, czy funkcja $\Delta$ i $x$ (wyrażenie po znaku ograniczenia w definicji $\xi$) nie spełnia żadnego z tych dwóch stwierdzeń (w roli $\delta$). Więc to nie jest „symetryczne”.

Rozkład delta może hipotetycznie spełnić tylko drugą instrukcję. Czy to robi?

Możemy ocenić obie strony równości. Lewa strona ma wartość z definicji$\delta(x)$, $f(0)$.

Możemy przekształcić całkę po prawej stronie w $$ \int dx~\delta(-x) f(x) = \int dy~\delta(y) f(-y) $$ Z definicji $\delta(y)$, wartość tej całki wynosi $f(0)$, taki sam jak po lewej stronie. Zatem (**) jest spełnione.

Równanie $\delta(x) = \delta(-x)$ jest zatem konsekwencją definicji $\delta(x)$, to nie jest niezależne założenie.

Twoja funkcja $\xi$ może faktycznie być również posłusznym drugiemu stwierdzeniu (a zatem być w tym sensie symetrycznym), nawet jeśli $\Delta$-zależne wyrażenie po znaku ograniczenia nie. Jest to podobne dla innych przybliżeń rozkładu delta; przybliżenie może nie mieć właściwości$\delta$ (takie jak symetria), ale limit tak.

Answer 2

Symbol $$\delta(x\!-\!y)\tag{A}$$ z dwoma argumentami $x,y\in\mathbb{R}$jest nieformalną notacją jądra dla dystrybucji delta Diraca $$u~\in~ D^{\prime}(\mathbb{R}^2)\tag{B}$$ zdefiniowana jako

$$u[f]~:=\int_{\mathbb{R}}\!\mathrm{d}z~f(z,z)\tag{C}$$

do funkcji testowych $$f~\in~ D(\mathbb{R}^2).\tag{D}$$ Wynika z tego, że delta Diraca zdefiniowana jak powyżej jest symetryczna $$ \delta(x\!-\!y)~=~\delta(y\!-\!x), \tag{E}$$por. Pytanie tytułowe OP.

Answer 3

Funkcja delta to rozkład zdefiniowany na zbiorze funkcji. Matematycy zwykle wyrażają to używając notacji bra-ket, gdzie funkcja delta to stanik$<\delta|$ i $$<\delta| f> = \int \delta(x) f(x) dx = f(0)$$

Gdybyś mówił o zestawie funkcji ciągłych, uważam, że nie potrzebowałbyś wymogu symetrii. Ale zazwyczaj tak nie jest. W mechanice kwantowej używamy zestawu funkcji całkowalnych kwadratowych; jest to wymaganie łagodne, które pozwala na nieciągłości.

Teraz, jeśli rozważasz funkcje, które mogą być nieciągłe przy zera, musisz jawnie zdefiniować, co robić, symetryczny rozkład delta powinien być

$$ <\delta | f > = \frac{f(0^+)+f(0^-)}2 $$

i możesz mieć inne różne „funkcje delta”, które działają tak samo w funkcjach ciągłych, ale działają inaczej w przypadku nieciągłości.

BONUS: w jednowymiarowej mechanice kwantowej masz cały zestaw „barier podobnych do delta” zdefiniowanych przez wiele sposobów łączenia $\Psi'(0^+),\Psi(0^+)$ do $\Psi'(0^-),\Psi(0^-)$. Nazewnictwo to tutaj koszmar ze względu na błędy w podręcznikach. Każda „delta” lub „bariera podparta w jednym punkcie” może być traktowana jako zasada łączenia przedziałów$(-\infty, 0)$ i $(0, \infty)$.