Czy istnieje wyrażenie w formie zamkniętej dla $\prod_{n=1}^{\infty}(1-\frac{x}{n^3})$?

Question

Chciałbym o to zapytać $|x|<1$, możemy wyrazić produkt $\prod_{n=1}^{\infty}(1-\frac{x}{n^3})$ jako funkcja $f(x)$. Próbowałem użyć twierdzenia o rozkładzie Weierstrassa, ale bez większego sukcesu.

Naprawdę byłbym wdzięczny za odniesienie lub rozwiązanie.

Answer 1

Jak już zauważono w komentarzach, wyrażenie można uzyskać z nieskończonych iloczynów dla $\Gamma$(albo Eulera , albo Weierstrassa ):$$\Gamma(1+z)=\prod_{n=1}^\infty\frac{(1+1/n)^z}{1+z/n}=e^{-\gamma z}\prod_{n=1}^\infty\frac{e^{z/n}}{1+z/n},$$ i „algebraiczne” $1-x/n^3=(1-x^{1/3}/n)(1-e^{2\pi i/3}x^{1/3}/n)(1-e^{-2\pi i/3}x^{1/3}/n)$, dając $$\prod_{n=1}^\infty\left(1-\frac{x}{n^3}\right)=\Big(\Gamma(1-x^{1/3})\Gamma(1-e^{2\pi i/3}x^{1/3})\Gamma(1-e^{-2\pi i/3}x^{1/3})\Big)^{-1}.$$Z łatwością odnosi się to do bardziej ogólnych „racjonalnych produktów nieskończonych”, jak opisano tutaj .

Answer 2

Komentarz:

Granicę tego iloczynu można znaleźć za pomocą nierówności Weierstrassna:

Jeśli $a_1, a_2, a_3, \ldots,a_n$ są rzeczywistymi liczbami całkowitymi dodatnimi mniejszymi od jedności oraz:

$S_n=(a_1+a_2+a_3+ \cdots+a_n)<1$

następnie:

$1-S_n<(1-a_1)(1-a_2)(1-a_3) \cdots (1-a_n)<\frac 1 {1+S_n}$

Gdzie możemy pozwolić:

$a_n=\frac x {n^3}$