Czy każdy element $\mathbb{R}$ członek $\mathbb{Q}$ połączona z nieskończenie wieloma członkami podstawy transcendencji?

Question

Ostatnio byłem zainteresowany stworzeniem nieco non-konstruktywnych rozwiązań problemów wykorzystujących koncepcję podstawę transcendencji z$\mathbb{R}$ nad $\mathbb{Q}$, który istnieje przy założeniu Aksjomatu Wyboru, ale znam tylko kilka podstawowych teorii pola. W ramach coraz większego zrozumienia pytam:

Pozwolić $W$ być podstawą transcendencji $\mathbb{R}$ nad $\mathbb{Q}$. Czy to prawda, że$$\mathbb{R} = \bigcup_{w\subset W, \;w \text{ finite}}\mathbb{Q}(w)$$? A co jeśli zamienimy „skończone” na „policzalne”?

Answer 1

Być może czegoś mi brakuje, ale cytując np. Z tego postu MSE :

zbiór $T$ elementów pola rozszerzenia $k/F$jest podstawą transcendencji, jeśli

1. dla wszystkich $n$i wyraźne $t_{1}, \dots, t_{n} \in T$, nie ma niezerowego wielomianu $f(X_1,\dots,X_n)\in F[X_1,\dots,X_n]$ takie że $f(t_1,\dots,t_n)=0$;
2. $k$ jest algebraiczne $F(T)$.

A więc taki element $\sqrt{2}$ nie będzie w żadnym z twoich $\mathbb{Q}(w)$.

Answer 2

Edytuj . Ta odpowiedź jest nieprawidłowa. Odczytuję „podstawę transcendencji” jako „podstawę przestrzeni wektorowej”. Myślę, że odpowiedź @AndreasCaranti jest poprawna. Zostawię swoje, aby nikt inny nie popełnił tego samego błędu.

---

Tak, ponieważ każdy element $\mathbb{R}$ jest skończona $\mathbb{Q}$-liniowe połączenie elementów bazowych. Oznacza to, że znajduje się w połączeniu odpowiednich rozszerzeń.