Czy każdy monoid unieważniający, wolny od odwracalności, może być osadzony w grupie?
Monoid jest nieodwracalny, jeśli$xy=1$ sugeruje $x=y=1$ dla wszystkich $x,y$.
Pytanie: Czy każdy anulowany, nieodwracalny monoid można osadzić w grupie?
Jestem dość pewien, że iloraz iloczynu swobodnego takiego monoidu z jego zwierciadłem (jest to monoid o tych samych elementach i identyczności, ale odwróconym mnożeniu, tj. $x\cdot y=yx$) jest „najbardziej ogólną” grupą, w której można go osadzić.
To jest nieprzemienna wersja konstrukcji liczb całkowitych z liczb naturalnych.
Czy pojawia się to gdziekolwiek w literaturze jako problem / twierdzenie / twierdzenie?
Odpowiedzi
Nie, nie jest to prawdą nawet w przypadku nieskończenie generowanych monoidów. Weź dowolną półgrupę$S$który jest anulowalny i nie jest osadzony w grupie (pierwsze przykłady zostały skonstruowane przez Malcev). Rozważ monoid$S^1$ który jest $S\sqcup\{1\}$ z $1$ a (nowy jeśli $S$jest monoidalnym) elementem neutralnym. Następnie$S^1$jest monoidem bez odwracalności, który nie jest osadzony w grupie. Jest anulowalna iff$S$ nie ma neutralnego elementu.