Czy możemy zdefiniować $z^{\frac{1}{2}}$ jako funkcja holomorficzna na $\mathbb{C}\left\backslash \left\{ 0\right\} \right.$?

Question

Rozważać $$z^{\frac{1}{2}}:=e^{\frac{1}{2}(\log|z|+iarg(z))}.$$

Widzimy na przykład, że $z^{\frac{1}{2}}$ można zdefiniować jako funkcję holomorficzną w pobliżu $z=\frac{1}{2}$, wybierając bardzo małe sąsiedztwo $z=\frac{1}{2}$i zdefiniuj odpowiedni plik $arg(z)$ żeby to było tam ciągłe.

Moje pytanie: może $z^{\frac{1}{2}}$ być traktowane jako funkcja holomorficzna na $D\left\backslash \left\{ 0\right\} \right.$? Tutaj$D$ to jednostka dyskowa $\mathbb{C}$.

Przez funkcję holomorficzną rozumiem mapę$f:D\left\backslash \left\{ 0\right\} \right.\rightarrow \mathbb{C}$ spełnia równanie Cauchy'ego-Riemanna na $D\left\backslash \left\{ 0\right\} \right.$.

Zgodnie z poniższą odpowiedzią widzimy, że odpowiedź na moje pytanie jest przecząca. Chciałbym rozważyć następujące dodatkowe powiązane pytanie:

Dodatkowe pytanie : podobne pytanie, ale tym razem rozważamy domenę$D\left\backslash B(0,\epsilon) \right.$, za bardzo mały $\epsilon$.

Answer 1

Nie, to niemożliwe. Ta funkcja byłaby ograniczona w przebitym sąsiedztwie$0$, co sprawi, że $0$ usuwalna osobliwość $z^{\frac{1}{2}}$. Ale wtedy$0$ byłaby również usuwalną osobliwością pochodnej $\frac{1}{2z^{\frac{1}{2}}}$, który nie może mieć usuwalnej osobliwości przy $0$ ponieważ nie ogranicza się do przebitej dzielnicy.