Czy ukończenie Cauchy'ego jest największym rozszerzeniem z takim samym swobodnym uzupełnieniem?

Dec 09 2020

EDYCJA Tytuł został edytowany.


Pozwolić $C$ być kategorią i $$\hat{C} = [C^{op}, (Set)]$$niech będzie jego wolnym dopełnieniem. Wbrew swojej nazwie swobodne współukończenie swobodnego współukończenia nie jest ogólnie równoznaczne z darmowym współukończeniem. Mianowicie,$\hat{C} \not\simeq \hat{\hat{C}}$. Na przykład weź$C = \{*\}$. [1].

Istnieje lepsze uzupełnienie, zwane uzupełnieniem Cauchy'ego $\bar{C}$. Gdyby$C$ jest mały, to mamy $$ C \hookrightarrow \bar{C} \hookrightarrow \hat{C}.$$

Zgodnie z twierdzeniem 1 w [2] jest lepiej w tym sensie $$\bar{C} \simeq \bar{\bar{C}},$$ więc $\bar{C}$ jest w rzeczywistości dopełnieniem, a także tym $$\hat{C} \simeq \hat{\bar{C}},$$ więc $\bar{C}$ co zapewnia $C$potrzeb bez zbytniej zmiany. W końcu w wielu przypadkach lepiej jest przeglądać$C$ tak jak $\hat{C}$ [3].

Pytanie

Jest $\bar{C}$ największa kategoria pomiędzy $C$ i $\hat{C}$ którego jest bezpłatne uzupełnienie $\hat{C}$? Dokładniej, wśród wszystkich kategorii$D$ z $\hat{C} \simeq \hat{D}$ i $$C \hookrightarrow D \hookrightarrow \hat{C},$$ jest $\bar{C}$ uniwersalny?

Odniesienie

  • [1] https://math.stackexchange.com/questions/3396276/presheaf-category-as-free-cocompletion

  • [2] Zakończenie Cauchy'ego w teorii kategorii- [Francis Borceux i Dominique Dejean]

  • [3] https://mathoverflow.net/a/3185/124549

Odpowiedzi

3 Student Dec 10 2020 at 16:52

Odpowiedź jest pozytywna.

Znalazłem opublikowane konto ze szczegółami w rozdziałach 6 i 7 Handbook of Categorical Algebra 1 autorstwa Francisa Borceux.

Dzięki komentarzom przydatne linki, które podsumowują, jak to działa

  • równoważność morita dla kategorii

  • Równoważność Mority poprzez rozszerzenie Kan

  • Wspaniały zapis Qiaochu Yuana