Czy wszystkie zestawy mają sztywną endomapę?

Aug 16 2020

Pozwolić $X$być zestawem. Dwie endomapy$f,f':X\to X$izomorficzne, jeśli występuje bijekcja$g:X\to X$ takie że $f'=g\circ f\circ g^{-1}$. Bijection$g:X\to X$ dogadzający $f=g\circ f\circ g^{-1}$nazywa się automorfizmem $f$. Tożsamość$X$jest trywialnym automorfizmem$f$. Endomapa jest sztywna, jeśli nie dopuszcza żadnego nietrywialnego automorfizmu.

Czy wszystkie zestawy mają sztywną endomapę?

Oczywiście istnienie sztywnej endomapy z danego zbioru $X$ zależy tylko od liczności $|X|$ z $X$.

Twierdzimy:

Jeśli $|X|\le2^{\aleph_0}$, następnie $X$ ma sztywną endomapę.

Dowód:

Pozwolić $X$ być co najwyżej zbiorem mocy $2^{\aleph_0}$i pokażmy to $X$ ma sztywną endomapę $f$. Możemy to założyć$X$ jest niepusty.

Jeśli $X=\{1,\ldots,n\}$ z $n\ge2$ ustawiliśmy $f(i)=\max\{1,i-1\}$. Jeśli$X=\mathbb N$ ustawiliśmy $f(i)=\max\{0,i-1\}$.

Teraz załóżmy $\aleph_0<|X|\le2^{\aleph_0}$. (Piszemy$|X|$ dla liczności $X$.)

Pozwolić $I$ być zbiorem klas izomorfizmów sztywnych endomap $\mathbb N$. Twierdzimy

(1) $|I|=2^{\aleph_0}$.

Pokażmy, że (1) implikuje to $X$ma sztywną endomapę. Możemy się domyślać$$ X=\bigsqcup_{j\in J}X_j $$ gdzie $\bigsqcup$ oznacza „dyskretny związek”, gdzie $J$ jest licznością $|X|$ zestaw nieizomorficznych sztywnych endomap o $\mathbb N$, i gdzie $X_j=\mathbb N$ dla wszystkich $j\in J$. Dla każdego$j$ pozwolić $f_j$ być endomapą $X_j$ typu $j$. Następnie$$ f:=\bigsqcup_{j\in J}f_j $$ (notacja oczywista) to sztywna endomapa formatu $X$.

Pozostaje tylko udowodnić (1).

Pozwolić $X_0,X_1,\ldots$ być niepustymi, skończonymi podzbiorami $\mathbb N$ takie, że:

$\bullet\ \mathbb N=X_0\sqcup X_1\sqcup\cdots,$

$\bullet\ X_0=\{0\}$.

Dla $n\ge1$ pozwolić $f_n:X_n\to X_{n-1}$ być mapą, której włókna mają różne liczebności, niech $f_0$ być jedyną endomapą $X_0$i zdefiniuj $f:\mathbb N\to\mathbb N$ przez $f(x)=f_n(x)$ Jeśli $x\in X_n$.

Wtedy łatwo to zobaczyć $f$ jest sztywny i że mamy kontinuum - wiele klas izomorfizmów takich endomap $\mathbb N$.

Odpowiedzi

Pierre-YvesGaillard Aug 24 2020 at 00:19

Na pytanie odpowiedział YCor na MathOverlow.

Chciałem opublikować odpowiedź wiki społeczności, która zawierała tylko powyższe zdanie, ale oprogramowanie przekształciło je w komentarz. Próbuję ponownie po dodaniu obecnego zdania i następującego fragmentu odpowiedzi YCor:

„... istnieje (dla $X\neq\emptyset$) zakorzeniona struktura drzewa $X$którego grupa automorfizmu jest trywialna. Rzeczywiście, udzielając tego i denotując$v_0$ korzeń dla wierzchołka $v$ definiować $f(v)$ tak jak $v_0$ Jeśli $v_0=v$i jako unikalny wierzchołek w $[v_0,v]$ w odległości 1 do $v$Inaczej. Następnie$f\in X^X$ i jego centralizator w $\mathrm{Sym}(X)$ jest grupą automorfizmu odpowiedniego zakorzenionego drzewa, która jest zredukowana do $\{\mathrm{id}_X\}$. ”