Dlaczego całkowity czas jest równy $ N \cdot {T}_{s} $ i nie $ \left( N - 1 \right) \cdot {T}_{s} $ W kontekście DFT?
W definicjach DFT
DFT $$ X(j)=\sum_{k=0}^{N-1} x(k) \exp \left(-i 2 \pi\left(\frac{j}{N}\right) k\right) $$
Powiedzmy, jeśli mamy $10$ zwrotnica, $N=10$, każdy z próbek o godzinie $0.2$ sekund, dlaczego całkowity czas używany do obliczenia rozdzielczości częstotliwości jest równy $$ \frac{1}{N\Delta t } $$
gdzie $k$ będzie działać z $0, 1, 2, \ldots , 9$.
Jeśli pierwszy punkt był na zero, próbkowany czas będzie na $0.2$, a ostatni próbkowany punkt będzie o godzinie $$0.2\cdot (N-1)= 0.2\cdot 9 = \mathbf{1.8 \ \rm s}$$
Raczej całkowity czas jest równy $0.2\cdot N= 0.2\cdot 10=\mathbf{2.0 \ \rm s}$ w kroku częstotliwości.
PS: Widziałem zapytanie i dyskusję Jak zmierzyć czas trwania?
Tutaj $\Delta t = 0.1 \ \mathrm{s}, N= 11 (\text{Eleven data points}), k= N-1$; Więc
$$\text{total signal duration} = k\cdot \Delta t = (11-1)\cdot \Delta t= 1 \ \text{second}$$
Zgadza się to z $10 \rm \ Hz$częstotliwość próbkowania , tj.$10$ punkty zostały zebrane w $1 \ \text{second}$ i $11^{th}$ punkt należał do kolejnego cyklu.
Odpowiedzi
Masz rację, czas trwania związany z przyjmowaniem$N$jednolite próbki sygnału
$$ D = (N-1) \cdot T_s$$
gdzie $T_s$jest okresem pobierania próbek .
Wystarczy konkretny przykład; przyjmij swój okres próbkowania$T_s$ trwa 1 godzinę i chcesz pobrać 3 próbki z wolno zmieniającego się procesu, takiego jak wysokość wierzchołka góry lodowej podczas topnienia.
Twoja pierwsza próbka zostanie pobrana o godz $t=0$(Sam proces próbkowania elektronicznego trwa około mikro sekundy lub mniej, więc zignoruj go w porównaniu z godziną okresu próbkowania!). Wtedy pojawia się druga próbka$1$ godzinę później, a trzecia (i ostatnia) próbka dociera o $2$ godzine później.
Stąd twój $3$ próbki wymagają długich obserwacji $D = (3-1) \cdot 1 = 2$długie godziny. Jak tylko pobierzesz ostatnią (trzecią) próbkę, zamkniesz system próbkowania. Po pobraniu ostatniej próbki nie trzeba czekać dłużej niż godzinę (jeszcze jeden interwał próbkowania).
Ta metodologia obliczeń jest dokładnie równa obliczaniu odległości w strukturach sieci krystalicznej. Jaka jest odległość między atomami N? Jaka jest całkowita długość atomów N (regularnie umieszczanych na wymiarze x)?
Niemniej w literaturze można znaleźć wyrażenia angażujące $D = N \cdot T_s$. Niektóre aplikacje mogą tego wymagać; tj. przetwarzanie sygnału oparte na blokach, DFT, konwersja częstotliwości próbkowania wykorzystują taki punkt widzenia, który jest uzasadniony w ich przetwarzaniu bloków danych jeden po drugim.
Zrozumieć dlaczego $D = N \cdot T_s$mogą być wykorzystane w analizie DFT, rozważ następujący przykład. Załóżmy, że masz długi zestaw danych, taki jak$4 \cdot N$ próbki, podzielone na 4 bloki $N$próbki; tj. będziesz mieć 4 bloki$N$próbki każdy. Bloki sąsiadują ze sobą, ich przykładowe rzędy to (1, N), (N + 1,2N), (2N + 1,3N), (3N + 1,4N). Próbka$N+1$należy do drugiego bloku, ale czas trwania pierwszego bloku jest mierzony począwszy od próbki 1 do próbki N + 1. Ponieważ czas trwania między próbkami N i N + 1 należy do pierwszego bloku, a to wyjaśnia, dlaczego czas trwania tego bloku przyjmuje się jako$D = N \cdot T_s$. Jednak dla ostatniego bloku próbek (3N + 1,4N) czas trwania będzie wynosił$(N-1)\cdot Ts$, ponieważ nie ma już sąsiednich bloków.
Wreszcie jest to temat debaty. :-)
Powód jest bardzo prosty w kontekście DFT i twierdzenia o próbkowaniu.
W tym kontekście czas próbkowania to czas, o którym masz pełną wiedzę i jesteś w stanie zrekonstruować przy założeniu prawidłowego próbkowania.
Dla sygnałów dyskretnych, w kontekście DFT, model dotyczy sygnałów okresowych. Dlatego ostatnia próbka daje wiedzę o przedziale czasowym$ \left[ \left( N - 1 \right) \cdot {T}_{s}, N \cdot {T}_{s} \right] $ od następnej próbki $ N \cdot {T}_{s} $jest znany. Jest to próbkowany w czasie 0.