Dlaczego działanie kontrolowanego-Z pozostaje niezmienione przez wymianę docelowych kubitów kontrolnych?
W książce „Quantum Computer Science”, wyjaśniając kod korekcji błędów, używa tego obrazu i mówi, że „działanie kontrolowanego-z jest niezmienione poprzez wymianę kubitu docelowego i kontrolnego”.
Czy to oznacza, że akt cZ (kontrolny kubit ancyli i docelowy kubit słowa kodowego) jest równy cz (kontrolny kubit słowa kodowego i docelowy kubit ancilla)? Jeśli tak jest, dlaczego tak jest?
W moim rozumieniu | 1> Z | 0> (pierwszy kubit to kubit kontrolny) nie jest równy Z | 0> | 1> (drugi kubit to kubit kontrolny).

Odpowiedzi
Jeśli mamy dowolny stan dwóch kubitów:
$$|\psi \rangle = a |00\rangle + b|01\rangle + c|10\rangle + d|11\rangle$$
następnie po zastosowaniu $CZ_{1 \rightarrow 2}$ sterowane z pierwszego kubitu uzyskamy:
$$CZ_{1 \rightarrow 2}|\psi \rangle = a |00\rangle + b|01\rangle + c|10\rangle - d|11\rangle$$
ponieważ operacja sterująca działa, gdy kubit sterujący jest $|1\rangle$ i $Z$ bramka zmienia znak amplitudy $|1\rangle$ stan, stąd $CZ_{1 \rightarrow 2}$ akcja zmienia znak $|11\rangle$.
Teraz akcja $CZ_{2 \rightarrow 1}$:
$$CZ_{2 \rightarrow 1}|\psi \rangle = a |00\rangle + b|01\rangle + c|10\rangle - d|11\rangle$$
To samo dotyczy tylko znaku $|11\rangle$należy zmienić z podobnych powodów. Można to również zobaczyć za pomocą macierzy:
$$CZ_{1 \rightarrow 2} = |0\rangle \langle 0| I + |1 \rangle \langle 1| Z = \\ = \begin{pmatrix} 1&0&0&0 \\ 0&1&0&0 \\ 0&0&1&0 \\ 0&0&0&-1 \\ \end{pmatrix}=\\ =I |0\rangle \langle 0| + Z |1 \rangle \langle 1| = CZ_{2 \rightarrow 1} $$