Dowód, że funkcja jest wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia ten warunek?

Question

Jak udowodnić, że funkcja f: R-> R jest wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy dom (f) jest wypukła i dla każdego a, b, c w swojej dziedzinie, które są $a<b<c$, mamy:

Wyznacznik macierzy: $$ \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ a & b & c\\ f(a) & f(b) &f(c) \end{vmatrix}\ge 0. $$

Wyznacznikiem jest:

$$ bf(c)-cf(b)+cf(a)-af(c)+af(b)‐bf(a) >= 0$$

Następnie:

$$ f(a)(c-b) + f(b)(a-c) + f(c)(b-a) >=0$$

Wtedy zgodnie z a <b <c możemy powiedzieć:

$$ f(a)(c-b) + f(c)(b-a) >= f(b)(c-a)$$ [zredagowano]

Więc poszedłem aż do tego miejsca, ale nie wiem, jak to połączyć z nierównością Jensena, aby udowodnić, że f jest wypukłe.

Answer 1

Nie potrzebujesz już prawie żadnych kroków, aby wyjść dalej. Definicja wypukłości funkcji obejmuje:$$ f(\theta x+(1-\theta)y)\le \theta f(x)+(1-\theta)f(y) $$ Teraz spróbuj zmienić kolejność ostatniej nierówności, którą uzyskałeś $x=a$, $y=c$ i właściwy wybór $\theta$.